例題 y=x2+3x+4 の右辺を平方完成せよ。---
解 田の字(正方形を 2×2 型に並べたもの)を書き、左上に x2 を入れる。
次に、3x を半分にした (3/2)x を2箇所に記入する。なぜなら、2×2 型の正方形の田んぼを作るのが目的だから、2箇所に同じものを入れなければならない。
右下隅は自動的に (3/2)2 = 9/4 になる。はみ出し田んぼを用意し、9/4 と合わせて定数項の 4 に等しくなればよいのだから、
9/4 + □ = 4,
□ = 16/4 - 9/4 = 7/4
で、田の字計算が完了する。したがって、
y = ( x + 3/2)2 + 7/4
解 両辺を -2 で割って、
y/(-2) = x2 + 2x + 5/2
として、この右辺を平方完成する。田の字により、1辺が x+1 の正方形の田んぼと、面積 3/2 のはみ出し田んぼに整地し直すことができる。すなわち
y/(-2) = ( x + 1)2 + 3/2
最後に、-2 倍して、元に戻せば
y = -2 (x + 1)2 - 3.
