よって、円の中心は $(0,2\sqrt{3})$ で半径は $4$ である。ただし弦 $AB$ より下にある円周部分は答に入らない。あともうひとつ、これを $x$ 軸に関して折り返した図形も軌跡になる。
【答】 $x^2+(y-2\sqrt{3})^2=16,y \geq 0$ と $x^2+(y+2\sqrt{3})^2=16,y \leq 0$
【別解】 $P(x,y)$ とおく。余弦定理より
$AB^2=PA^2+PB^2-2PA\cdot PB \cos 30^\circ$
だから
$16=(x-2)^2+y^2+(x+2)^2+y^2 -2 \sqrt{ (x-2)^2+y^2} \sqrt{ (x+2)^2+y^2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\sqrt{3}\sqrt{ x^2+y^2+4-4x} \sqrt{ x^2+y^2+4+4x}=2(x^2+y^2-4)$ ……(*)
両辺を2乗して
$3 \{(x^2+y^2+4)^2-16x^2 \}=4(x^2+y^2-4)^2$
$3(x^2+y^2)^2+24(x^2+y^2)+48-48x^2=4(x^2+y^2)^2-32(x^2+y^2)+64$
$(x^2+y^2)^2-8x^2-56y^2+16=0$
$x^4+2x^2y^2+y^4-8x^2-56y^2+16=0$
これを平方完成しよう。(分かりにくければ、$x^2=A$ と置いて $A$ について平方完成すると言い換えてもよい。)
$(x^2+y^2-4)^2-(y^2-4)^2+y^4-56y^2+16=0$
$(x^2+y^2-4)^2-48y^2=0$
あとは因数分解して
$(x^2+y^2-4+4\sqrt{3}y)(x^2+y^2-4-4\sqrt{3}y)=0$
この方程式は2つの円を表わす。すなわち
$x^2+y^2-4 \pm 4\sqrt{3}y=0$
標準形にすると
$x^2+(y \pm 2\sqrt{3})^2=16$
この方程式を満たすことが軌跡であるための必要条件であるが、十分条件ではない。どこで同値性が崩れたのか、振り返ると(*)を2乗したところだ。2乗したことによって、$x^2+y^2-4<0$ という円の内部に含まれた円周部分(円周角が $30^\circ$ でなく $150^\circ$ である部分)が紛れ込んでしまった訳である。この部分を除去したものが正解となる。
【答】 $x^2+(y \pm 2\sqrt{3})^2=16 \mbox{かつ} x^2+y^2 \geq 4$
