【問題16】 空間内に 3 点 $A(0, ?2, 2)，B(1, 1, 1)，C(0, 0, 1)$ がある。点 $C$ を中心とする半径 1 の球を
$S$ として、$S$ 上の点を $P$ とする．また $xy$ 平面上の点を $Q(X, Y, 0)$ とする。点 $P$ は$CP \bot
AP$ を満たしながら動くとする。点 $Q$ が直線 $AP$ 上にあるとき，点 $Q$ の軌跡を求めよ。--- 
【解】 $CP \bot AP$ ということは $CP$ が半径だから、直線 $AP$ は球の接線であり、点 $P$ は球の接点である。点 $P(x,y,z)$
は直線 AQ 上の点だから、実数 $t$ を用いて
$\vec{OP}=(1-t) \vec{OA}＋t \vec{OQ}=(1-t)(0,-2,2)+t(X,Y,0)$
と表わされる。よって
$P(x,y,z)＝(tX,2t+Yt-2,-2t+2)$
である。また、$P$ は球の接点であるので
$x^2+y^2+(z-1)^2=1$
に代入してできる $t$ の2次方程式
$((tX)^2 +(2t+Yt-2)^2 +(-2t+1)^2=1$
$\{ X^2+(Y+2)^2+4 \} t^2 -4 \{ (Y+2)+1 \} t +4=0$
は重解を持つ。判別式=0となって
$D/4 = 4(Y+3)^2 -4 \{ X^2+(Y+2)^2+4 \} =0$
$2Y-X^2+1=0$
$Y=\frac{1}{2}X^2-\frac{1}{2}$
軌跡は $xy$ 平面上の放物線である。
【問題17】 $xy$ 平面上に定点 $A(-a,0),B(a,0)$ と $B$ を中心とする半径 $r$ の円 $C$ があり、 $a>0,r>0$
とする。
(1) $A$ が円 $C$ の内部にある
(2) $A$ が円 $C$ の外部にある
の各々の場合について、点 $A$ を通り、円 $C$ に接する円の中心 $P$ の描く軌跡の方程式を求めよ。---
【解】 (1) $r>2a$ のとき
$PA = r -PB $ となる。$P=(x,y)$ とおくと
$\sqrt{(x+a)^2 + y^2} = r- \sqrt{(x-a)^2 + y^2}$
両辺を2乗して
$(x+a)^2+ y^2 = r^2 -2r\sqrt{(x-a)^2 + y^2} + (x-a)^2 + y^2 $
移項して
$-4ax +r^2 = 2r\sqrt{(x-a)^2 + y^2}$
さらにこれも2乗すると
$( -\frac{2ax}{r} + \frac{r}{2})^2 = (x-a)^2 + y^2$
これを変形すれば、
$\frac{x^2}{r^2/4} + \frac{y^2}{(r^2-4a^2)/4}=1$
$\frac{x^2}{(r/2)^2} + \frac{y^2}{(\sqrt{r^2-4a^2}/2)^2}=1$ ……(答)
楕円である。
(２) $r<2a$ のとき
$PA=PB-r$ となる。$P=(x,y)$ とおくと
$\sqrt{(x+a)^2 + y^2} = \sqrt{(x-a)^2 + y^2}-r$
両辺を2乗して
$(x+a)^2+ y^2 = (x-a)^2 + y^2 -2r\sqrt{(x-a)^2 + y^2} +r^2 $
移項して
$-4ax +r^2 = 2r\sqrt{(x-a)^2 + y^2}$
さらにこれも2乗すると
$( -\frac{2ax}{r} + \frac{r}{2})^2 = (x-a)^2 + y^2$
これを変形すれば、
$\frac{x^2}{r^2/4} - \frac{y^2}{(4a^2-r^2)/4}=1$
$\frac{x^2}{(r/2)^2} - \frac{y^2}{(\sqrt{4a^2-r^2}/2)^2}=1$ ……(答)
双曲線である。
【問題18】 動点 $P(x, y)$ が連立不等式 $ y \geq 2x-2,y \geq -2x+2,y \leq 2$ が表す領域内にあるとき、$x^2+y^2$
の最大値、最小値を求めよ。--- 
【解】 最大は円 $x^2+y^2=r^2$ が点 $(x,y)=(2,2)$ を通るときだから、最大値は
$r^2=2^2+2^2=8 $ ……(答)
最小は円が $y=-2x+2$ に接するときだから、(原)点と直線との距離を2乗して
$r^2=( \frac{|-2 \cdot 0 -0+2|}{\sqrt{(-2)^2+(-1)^2}} )^2=\frac{4}{5}$
……(答)
そのときの点は、$y=\frac{1}{2}x$ との交点だから
$(x,y)=(\frac{4}{5},\frac{2}{5})$
【問題19】 座標平面上に2点 $A(2,0),B(-2,0)$ がある。点 $P$ が、$\angle APB=30^\circ$ を満たしながら動くとき、点 $P$ の軌跡の方程式を求めよ。---
【解】 点 $P$ は、長さが $4$ の弦 $AB$ を見込む円周角が $30^\circ$ の円周上にある。中心角は $60^\circ$ になるから、$AB$
を底辺とし円の中心を頂点とする二等辺三角形を作ると、正三角形になる。