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2曲線のパラメータは独立に動くので、パラメータを区別して
   $r_{1}=f(\theta_{1})=3\cos\theta_{1},r_{2}=g(\theta_{2})=1+\cos\theta_{2}$
とおいて、$PQ$ の最大・最小を考えよう。
(2-1)最小
2曲線は交わっているので、最小値は明らかに $0$ だが、その交点の座標を求めよう。ここで、第1曲線上の点は $0$ から $2\pi$ まで変化する間に円周を2周することに注意しよう。
(ア) $r_{1}=r_{2},\theta_{1}=\theta_{2}$ のとき
   $3\cos\theta_{1}= 1+\cos\theta_{1}$
   $\cos \theta_{1} =1/2$
   $(\theta_{1},\theta_{2}) =(\pi/3, \pi/3),(5\pi/3,5\pi/3)$
(イ) $r_{1}=-r_{2},\theta_{1}=\theta_{2}\pm \pi$ のとき
   $3\cos\theta_{1}= -(1-\cos\theta_{1})$
   $\cos \theta_{1} =-1/2$
   $(\theta_{1},\theta_{2}) =(2\pi/3, 5\pi/3),(4\pi/3,\pi/3)$
(ウ) $r_{1}=r_{2}=0$ のとき
   $(\theta_{1},\theta_{2})=(\pi/2,\pi),(3\pi/2,\pi)$
【答】 最小値は $0$ で、$(\theta_{1},\theta_{2}) =(\pi/3, \pi/3),(5\pi/3,5\pi/3),(2\pi/3, 5\pi/3),(4\pi/3,\pi/3),(\pi/2,\pi),(3\pi/2,\pi)$ のとき
(2-2)最大
第2曲線上の点が、第1曲線(円)の中心から一番遠いところにあれば、それが最大値を与える。
   
その理由は上図を見て考えれば分かる。円の中心に太陽があると思えば、距離が最大になるのは太陽と両惑星が1列に並ぶときで、しかも相手の惑星が太陽の裏側に隠れるときである。
   
円の中心と点 $Q$ との間の距離を $d$ とすれば、余弦定理により
   $d^2={r_{2}}^2 +(3/2)^2 -2 \cdot (3/2) r_{2} \cos \theta_{2}$
   $=(1+\cos \theta_{2})^2 + 9/4 -3 (1+ \cos \theta_{2}) \cos \theta_{2}$
   $=-2 \cos^2 \theta_{2} -\cos \theta_{2} +13/4$
   $=-2(\cos\theta_{2}+1/4)^2+27/8$
したがって、$d$ の最大値は $\cos\theta_{2}=-1/4$ のときで、$\sqrt{27/8}$ であり、$PQ$ の最大値は
   $\sqrt{\frac{27}{8}} +\frac{3}{2} =\frac{3 \sqrt{6}+6}{4} (\doteq 3.34)$
このときの点 $Q$ の座標を求めると
   $Q= (r_{2}\cos\theta_{2},r_{2}\sin\theta_{2})=((3/4)\cdot (-1/4),(3/4) \cdot( \pm \sqrt{15}/4)$
   $=(-\frac{3}{16},\pm \frac{3 \sqrt{15}}{16})$
一方、$Q$ に対する $P$ は、$Q$ と点 $(3/2,0)$ を線分で結んで、それを $3/2$ の長さだけ延長したところにある。よって
   $P=(\frac{24+9\sqrt{6}}{16},\mp \frac{3\sqrt{10}}{16})$
対応する偏角は
   $\tan \theta_{1} = \mp \frac{\sqrt{10}}{8+3\sqrt{6}} =\mp \frac{4\sqrt{10}-3\sqrt{15} }{5}$
および、この $\theta_{1}$ に $\pi$ か $2\pi$ を足したものである。
【答】 最大値は $\frac{3 \sqrt{6}+6}{4}$ で、そのときの偏角は
(i) 点 $Q$ が第2象限で点 $P$ が第4象限のときは
   $(\theta_{1},\theta_{2}) =(\pi - \tan^{-1} (\frac{4\sqrt{10} -3\sqrt{15}}{5}),\cos^{-1}(-\frac{1}{4})),$
   $(\theta_{1},\theta_{2}) =(2\pi - \tan^{-1} (\frac{4\sqrt{10} -3\sqrt{15}}{5}),\cos^{-1}(-\frac{1}{4}))$
(ii) 点 $Q$ が第3象限で点 $P$ が第1象限のときは
   $(\theta_{1},\theta_{2}) =( \tan^{-1} (\frac{4\sqrt{10} - 3\sqrt{15}}{5}),2\pi- \cos^{-1}(-\frac{1}{4})),$
   $(\theta_{1},\theta_{2}) =(\pi + \tan^{-1} (\frac{4\sqrt{10} -3\sqrt{15}}{5}),2\pi -\cos^{-1}(-\frac{1}{4}))$
(3) $PQ$ の中点が $O$ ということは、
(ア) $r_{1}=r_{2},\theta_{1}=\theta_{2} \pm \pi$ のとき
   $3\cos\theta_{1}= 1-\cos\theta_{1}$
   $\cos \theta_{1} =1/4$
   $P=(r_{1}\cos\theta_{1},r_{1}\sin\theta_{1}) =(3/16, \pm 3\sqrt{15}/16)$
   $Q=(-r_{1}\cos\theta_{1},-r_{1}\sin\theta_{1}) =(-3/16, \mp 3\sqrt{15}/16)$
(イ) $r_{1}=-r_{2},\theta_{1}=\theta_{2}$ のとき
   $3\cos\theta_{1}= -(1+\cos\theta_{1})$
   $\cos \theta_{1} =-1/4$
   $P=(r_{1}\cos\theta_{1},r_{1}\sin\theta_{1}) =(3/16, \pm 3\sqrt{15}/16)$
   $Q=(-r_{1}\cos\theta_{1},-r_{1}\sin\theta_{1}) =(-3/16, \mp 3\sqrt{15}/16)$
(ウ) $r_{1}=r_{2}=0$ のとき
   $P=(0,0)$
   $Q=(0,0)$
【答】 $(3/16, \pm 3\sqrt{15}/16),(0,0)$
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【問題10】 極方程式 $r= \sqrt{3}/(2+\sqrt{3}\cos\theta)$ …@について、$O$ を原点とする。@で与えられた曲線上の点 $P(x,y)$ から、直線 $x=a$ に下ろした垂線を $PH$ とし、$k=OP/PH$ とおく。$P$ が@で与えられた曲線上を動くとき、$k$ が一定であるとする。このときの $a,k$ の値を求め、さらに△HOPの面積を求めよ。また、この面積が最大になるときの $x$ の値を求めよ。---

【解】 @を変形すれば、
   $r(2+\sqrt{3}\cos\theta)=\sqrt{3}$
   $2r+\sqrt{3}x=\sqrt{3}$
   $2 \sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{3}(1-x)$
   $4(x^2+y^2)=3(1-x)^2$
   $x^2+6x+4y^2-3=0$
   $(x+3)^2 +4y^2 =12$
   $\frac{(x+3)^2}{12} +\frac{y^2}{3}=1$
これは楕円です。$x,y$ の動く範囲を求めておくと、中心から上下左右に長径、短径の半分だけ飛べばいいから
   $-3-2\sqrt{3} \leq x \leq -3+2\sqrt{3},-\sqrt{3} \leq y \leq \sqrt{3}$
   

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