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【答】 最大値 $k=25(t=3,x=1 \pm \sqrt{3},y=4$
最小値 $k=-20(t=0,x=1,y=-5)$
【別解2】 $3(x?1)^2+4y=k$ と�@から $y$ ではなく $x$ を消去すると、
　　　$( \frac{k-4y}{3} )^2+y^2=25$
　　　$g(y)=25y^2-8ky+k^2-225=0$ …�B
この方程式が実数解 $y$ を持つような $k$ を考えればよいのだが、�@より
　　　$(x?1)^4,y^2 \leq (x?1)^4+y^2=25$
だから
　　　$0 \leq (x-1)^2 \leq 5, -5 \leq y \leq 5$
が制限域になる。よってこの時点で
　　　$-20 \leq k \leq 35$
でなければならないことが分かる。
　　　$g(-5)=625+40k+k^2-225=(k+20)^2 \geq0$
　　　$g(5)=625-40k+k^2-225=(k-20)^2 \geq0$
に注意すれば
　　　$-5 \leq \frac{4k}{25} \leq 5$　かつ　$f(\frac{4k}{25})=\frac{9}{25}k^2-225 \leq 0$
　　　$-25 \leq k \leq 25$
だが、先の制限域と合わせれば
　　　$-20 \leq k \leq 25$
最後に実際 $k=-20,k=25$ になりうるのかを調べる。
$k=25$ なら $g(y)=25y^2-200y+400=25(y-4)^2=0 \Rightarrow y=4, (x-1)^4=9 \Rightarrow x=1 \pm \sqrt{3}$
$k=-20$ なら $(x-1)^2=0,y=-5 \Rightarrow x=1$
【蛇足】 【別解】、【別解2】では、$=k$ とおいた式を変形してそれを2乗している。2乗したことにより、同値関係が崩れ、必要条件を求めているだけになっている。そこで、最後に得た答の $k$ の値を実際に取り得るのかを調べなければならない。すなわち、最大(小)値だけでなくそれを与える $x,y$ の値も求めるのである。

【問題9】 原点を $O$ とする座標平面において、極方程式で表される2つの曲線 $r=f(\theta)=3\cos\theta、r=g(\theta)=1+\cos\theta$ (ただし、$0 \leq \theta<2\pi$) を考える。また、極座標が $(f(\theta),\theta),(g(\theta),\theta)$ である点をそれぞれ $P,Q$ とする。
(1) 点 $P$ は、ある円の周上を動く。その円の中心の直交座標と、半径を求めよ。
(2) 点 $P(f(\theta),\theta)$ と点 $Q(g(\theta),\theta)$ の間の距離の最小値と最大値を求めよ。また、最大値、最小値をとるときの $\theta$ の値をそれぞれ求めよ。
(3) 線分 $PQ$ の中点が原点 $O$ となるとき、点 $P$ の直交座標を求めよ。---

【解】 (1)は
　　　$r =\sqrt{x^2+y^2},\cos\theta= x/r = x/\sqrt{x^2+y^2}$
を代入すれば、
　　　$\sqrt{x^2+y^2}=3x/\sqrt{x^2+y^2}$
　　　$x^2+y^2=3x$
　　　$(x-\frac{3}{2})^2+y^2=\frac{9}{4}$
で、中心 $(3/2,0)$, 半径 $3/2$ の円です。
(2) 2曲線を図示すれば、下図のようになる。後者の曲線はカージオイド(心臓形)である。
　　　

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