最大になるのは上側で接するときで、原点からの距離が半径に等しいときで
$\frac{|0+0-k|}{\sqrt{9+16}}=5 \Rightarrow k=25$
最小になるのは点 $(0,-5)$ にくっつくときで
$t=0,y=-5,k=-20$
【答】最大値 $k=25(t=\pm 3,x=1 \pm\sqrt{3},y=4)$
最小値 $k=-20(t=0,x=1,y=-5)$
【別解】 $3(x?1)^2+4y=k$ とおき、@と組ませて $y$ を消去すれば
$(x-1)^4+ \{ \frac{k-3(x-1)^2}{4 } \}^2=25$
$25(x-1)^4 -6k(x-1)^2+ k^2-400=0$
この方程式が実数解 $x$ を持つことから $k$ が満たすべき条件が分かるのだが、$x$ には変域に制限がかかっている。@から
$(x-1)^4 \leq (x?1)^4+y^2=25 \Rightarrow (x-1)^4 \leq 25$
なので
$0 \leq (x-1)^2 \leq 5$
結局、$t=(x-1)^2$ の2次関数
$f(t)=25t^2-6kt+k^2-400 (0 \leq t \leq 5)$
の最小値が $\leq 0$ になればよい。$f(5)=625-30k+k^2-400=(k-15)^2 \geq 0$ に注意して
(ア) $f(0)=k^2-400 \leq 0$ より
$-20 \leq k \leq 20$
または
(イ) $0 \leq \frac{3k}{25} \leq 5$ かつ $f(\frac{3k}{25})=\frac{16}{25}k^2-400\leq 0$ より
$0 \leq k \leq 25$
である。したがって
$-20 \leq k \leq 25$