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2円が交わる条件は上図のように三角形ができればよいわけだから、半径を$r_{1},r_{2}$,中心間の距離を$d$とすれば
$|r_{1}-r_{2}| \leq d \leq r_{1}+r_{2}$
である。辺々を2乗して
$(\frac{a}{|1-a^2|}-\frac{b}{|1-b^2|})^2 \leq (\frac{1}{1-a^2})^2 +
(\frac{1}{1-b^2})^2 \leq (\frac{a}{|1-a^2|} + \frac{b}{|1-b^2|})^2$
$\frac{a^2}{(1-a^2)^2} - \frac{2ab}{|1-a^2||1-b^2|} + \frac{b^2}{(1-b^2)^2}
\leq \frac{1}{(1-a^2)^2}+\frac{1}{(1-b^2)^2} \leq \frac{a^2}{(1-a^2)^2}
+ \frac{2ab}{|1-a^2||1-b^2|} + \frac{b^2}{(1-b^2)^2}$
$\frac{-2ab}{|1-a^2||1-b^2| }\leq \frac{1-a^2}{(1-a^2)^2} +\frac{1-b^2}{(1-b^2)^2}
\leq \frac{2ab}{|1-a^2||1-b^2|} $
$| \frac{1}{1-a^2} +\frac{1}{1-b^2 } | \leq \frac{2ab}{|1-a^2||1-b^2|}
$
辺々に$|(1-a^2)(1-b^2)|$を掛けて
$|2-a^2-b^2)| \leq 2ab$
$-2ab \leq 2-a^2-b^2 \leq 2ab$
$(a-b)^2 \leq 2 \leq (a+b)^2$
よって
$a+b \geq \sqrt{2}$ かつ $-\sqrt{2} \leq a-b \leq \sqrt{2}$(ただし$a \neq
1,b \neq 1$)
である。
(イ) $a=1$かつ$b=1$、すなわち$(a,b)=(1,1)$のとき
縦線と横線の垂直2等分線だから、ぶつかる。
(ウ) ア、イ以外のとき
$a=1$のときは直線$x=1/2$だから、これに一方の円をぶつけるには、その円の半径を$1/2$以上にすればよい。だから
$\frac{b}{|1-b^2|} \geq \frac{1}{2}$
$-2b \leq 1-b^2 \leq 2b$
この連立2次不等式を解くと
$\sqrt{2}-1 \leq b \leq \sqrt{2}+1$(ただし$b \neq 1$)
である。$b=1$のときも、上と同様である。
ということは、アの答の但し書きで除いた部分(赤い線分)が充填されることになる。
結局、求めるべき領域は上図の、赤線を充填した水色部分(境界を含む)である。
【答】 $b \geq -a +\sqrt{2}$ かつ $a-\sqrt{2} \leq b \leq a+\sqrt{2}$
【問題6】 $x-2y＋1＝0$…@, $3x＋2y-6＝0$…A, $ax-3y＋2＝0$…B で表される３直線があり、
(1) この３直線が三角形を作らないように定数$a$を定めよ。
(2) この３直線が直角三角形を作る定数$a$を定めよ。--- 
の出し方を教えてください。お願いします。
【解】 (1) 法線ベクトルが平行になればよい。
$a :-3 = 1 : -2 $
から、外項の積＝内項の積で
$a=3/2$
または
$a :-3 = 3 : 2$
から
$a=-9/2$
あと、第3の直線が2直線の交点$(5/4, 9/8)$を通るときがあるので
$a(5/4)-3(9/8)＋2=0 \Rightarrow 11/10$
【答】 $a=3/2,-9/2,11/10$
(2) 垂直は法線ベクトルの内積＝０ により
$1 a +(-2)\cdot(-3)=0 \Rightarrow a=-6$
$3 a + 2\cdot (-3)=0\Rightarrow a=2$
【答】 $a=-6,2$
【問題7】 次の媒介変数表示は、どのような曲線を表すか。---
（1） $x＝3 \cos\theta , y＝3 \sin\theta$
（2） $x＝5\cos\theta,y＝2\sin\theta$
（3） $x＝3/\cos\theta,y＝4\tan\theta$
（4） $x＝4\cos\theta＋2 ,y＝3\sin\theta?1$ 
【解】 $\cos^2 \theta +\sin^2 \theta=1$ に代入します。
(1) $(x/3)^2+(y/3)^2=1$ より
$x^2+y^2=9$
原点中心、半径 $3$ の円。
(2) $(x/5)^2+(y/2)^2=1$ より
$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{4}=1$
原点中心、長軸 $10$, 短軸 $4$ の楕円。
(3) 先の公式の両辺を $\cos^2$ で割れば
$1+\tan^2\theta =\frac{1}{\cos^2\theta}$
だから
$1+(y/4)^2=(x/3)^2$
$\frac{x^2}{9} -\frac{y^2}{16}=1$
頂点が $(\pm 3,0)$ で漸近線が$y=\pm (4/3)x$ の双曲線。
(4) $\cos\theta =(x-2)/4,\sin\theta=(y+1)/3$ のように変形して
$\frac{(x-2)^2}{16}+\frac{(y+1)^2}{9}=1$
点$(2,-1)$ が中心、長軸 $8$, 短軸 $6$ の楕円。
【問題8】 $(x?1)^4+y^2=25$ …@のとき $f (x, y)=3(x?1)^2+4y$ の最大値，最小値をそれぞれ求めよ。---
【解】 $(x-1)^2=|t|$ とおけば、@は
$t^2+y^2=25$(円)
になり、$f(x,y)$ は
$3 |t| +4y=k$
という折線になる。
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