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$2x+3y=k$とおいて、この直線がDとぶつかるように動かす。その中で$k$の最大値と最小値を求める。
最大値=$17,(x,y)=(4,3)$
最小値=$0,(x,y)=(0,0)$ ……(答)

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【問題3】 次の円または直線の2つの交点と点Aを通る円の方程式を求めよ。
(1) $x^2+y^2=4, x^2+y^2-4x-2y-8=0, A(-2, 1)$
(2) $x^2+y^2-2x-4y−3=0, x+2y=5, A (3, 2)$ ---


【解】 2曲線 $F(x,y)=0, G(x,y)=0$ の交点を通る曲線の式は
   $k F(x,y) + lG(x,y) = 0$ ……(*)
です。(デザルグの定理)
(1) $k(x^2+y^2-4)+l( x^2+y^2−4x−2y−8)=0$
が点Aを通るなら
   $k+3l=0$
だから、$k=3,l=-1$として
   $2x^2+2y^2+4x+2y-4=0$
すなわち
   $x^2+y^2+2x+y-2=0$ ……(答)
(2) $k(x^2+y^2−2x−4y−3)+l( x+2y-5)=0$
が点Aを通るなら
   $-4k+2l=0$
だから、$k=1,l=2$として
   $x^2+y^2-13=0$ ……(答)

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【問題4】 楕円$\frac{x^2}{9}+y^2=1$上の点Pと定点$A(a,0)$との距離$PA$の最小値を求めよ。ただし、$a$は実数の定数ととする。---

【解】 $P(x,y)$とする。
   $f(x)=PA^2=(x-a)^2+y^2=(x-a)^2+1-x^2/9 $
   $= (8/9)x^2 -2ax +a^2 +1$
   $=\frac{8}{9}( x -\frac{9}{8}a )^2 -\frac{1}{8}a^2 +1$
ここで、$x$ の動く範囲は $-3 \leq x \leq 3$ なので、頂点の $x$ 座標の $(9/8)a$ がこの範囲に入るか、左または右に行くかで場合分けする。
   
(ア) $(9/8)a< -3 $ すなわち $a<-8/3$ のとき
   $PA\mbox{の最小値}=\sqrt{f(-3)}=| a+3|$
(イ) $-3 \leq (9/8)a \leq 3 $ すなわち $-8/3 \leq a \leq 8/3$ のとき
   $PA\mbox{の最小値}=\sqrt{1-a^2/8}$
(ウ) $3 <(9/8)a $ すなわち $8/3 < a $ のとき
   $PA\mbox{の最小値}=\sqrt{f(3)}=| a-3|$
答のグラフは下図の通り。
   

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【問題5】 $xy$平面上に3点$O(0,0),A(1,0),B(0,1)$がある。
(1) $a>0$とする。$OP:AP=1:a$を満たす点$P$の軌跡を求めよ。
(2) $a>0,b>0$とする。$OP:AP:BP=1:a:b$を満たす点$P$が存在するための$a,b$に対する条件を求め、$ab$平面上に図示せよ。---


【解】 (1) $a \neq 1$なら、
   $OP^2:AP^2=x^2+y^2 : (x-1)^2+y^2=1:a^2$
   $a^2(x^2+y^2)= (x-1)^2+y^2$
   $(a^2-1)x^2+2x+(a^2-1)y^2=1$
   $(x+\frac{1}{a^2-1})^2+y^2=(\frac{a}{a^2-1})^2$
だから、中心$(1/(1-a^2), 0 )$,半径$a/|1-a^2|$の円になります。 ……(答)
これは$OA$ を$1:a$ に内分する点と外分する点を直径の両端とする円(確かめてみましょう)で、アポロニウスの円と呼ばれています。
$a=1$なら垂直二等分線です。実際、
   $x^2+y^2= (x-1)^2+y^2$
   $x=1/2$
で、$OA$の垂直二等分線です。 ……(答)
(2)は、中心$(0, 1/(1-b^2), 0 )$,半径$b/|1-b^2|$の円とぶつかるか考えます。
(ア) $a \neq 1$かつ$b \neq 1 $のとき
   

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