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【知恵袋から】図形と方程式
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目 次

【問題1】 座標平面上に4点$O(0 ,0),A(2 ,0),B(u, v),C(2, 5)$をとる。ただし$u>2,0<v<(5/2)u$とする。そして、四角形OABCの内部に点$P(s ,t)$をとる。

【問題2】 (1) 不等式$x^2-2x+y^2-4y-4<0$がある。不等式を満たす領域を図示せよ。また、その領域の面積を求めよ。

【問題3】 次の円または直線の2つの交点と点Aを通る円の方程式を求めよ。

【問題4】 楕円$\frac{x^2}{9}+y^2=1$上の点Pと定点$A(a,0)$との距離$PA$の最小値を求めよ。ただし、$a$は実数の定数ととする。---

【問題5】 $xy$平面上に3点$O(0,0),A(1,0),B(0,1)$がある。

【問題6】 $x-2y+1=0$…@, $3x+2y-6=0$…A, $ax-3y+2=0$…B で表される3直線があり、

【問題7】 次の媒介変数表示は、どのような曲線を表すか。---

【問題8】 $(x?1)^4+y^2=25$ …@のとき $f (x, y)=3(x?1)^2+4y$ の最大値,最小値をそれぞれ求めよ。---

【問題9】 原点を $O$ とする座標平面において、極方程式で表される2つの曲線 $r=f(\theta)=3\cos\theta、r=g(\theta)=1+\cos\theta$ (ただし、$0 \leq \theta<2\pi$) を考える。また、極座標が

【問題10】 極方程式 $r= \sqrt{3}/(2+\sqrt{3}\cos\theta)$ …@について、$O$ を原点とする。@で与えられた曲線上の点 $P(x,y)$ から、直線 $x=a$ に下ろした垂線を $PH$

【問題11】 $x$軸を準線として、$y=x$ に $(3,3)$ で接している放物線がある。この放物線の焦点の座標を求めよ。また、この放物線の方程式を求めよ。---

【問題12】 2点 $A(-2,0), B(1,0)$ からの距離の比が $2:1$ である点 $P$ の軌跡を求めよ。---

【問題13】 円 $x^2+y^2=2$ と直線 $y=x+1$ の交点を A, B とする。線分 AB の長さを求め、その中点の座標も求めよ。---

【問題14】 O を原点とする座標平面における曲線 $C:\frac{x^2}{4}+y^2=1$ 上に、点 $P(1,\frac{\sqrt{3}}{2})$ をとる。

【問題15】 $AB=8,AC=3, \tan A=-5 \sqrt{7}/9$ の $\triangle ABC$ がある。$\triangle ABC$ の重心を $G$ とするとき、線分 $AG$ の長さはいくらか。---

【問題16】 空間内に 3 点 $A(0, ?2, 2),B(1, 1, 1),C(0, 0, 1)$ がある。点 $C$ を中心とする半径 1 の球を $S$ として、$S$ 上の点を $P$ とする.また $xy$ 平面上の点を $Q(X, Y, 0)$ とする。点 $P$ は$CP \bot AP$ を満たし

【問題17】 $xy$ 平面上に定点 $A(-a,0),B(a,0)$ と $B$ を中心とする半径 $r$ の円 $C$ があり、 $a>0,r>0$ とする。

【問題18】 動点 $P(x, y)$ が連立不等式 $ y \geq 2x-2,y \geq -2x+2,y \leq 2$ が表す領域内にあるとき、$x^2+y^2$ の最大値、最小値を求めよ。---

【問題19】 座標平面上に2点 $A(2,0),B(-2,0)$ がある。点 $P$ が、$\angle APB=30^\circ$ を満たしながら動くとき、点 $P$ の軌跡の方程式を求めよ。---


「YAHOO! 知恵袋」で筆者が回答したものの中から抜粋しました。

【問題1】
座標平面上に4点$O(0 ,0),A(2 ,0),B(u, v),C(2, 5)$をとる。ただし$u>2,0<v<(5/2)u$とする。そして、四角形OABCの内部に点$P(s ,t)$をとる。
(1) 三角形POAと四角形OABCの面積比は$3:10$とする。このとき、$t$を$u$の式で表すと$t=□$?である。
(2) 三角形POCと三角形POAの面積比は$2:3$とする。このとき、点C,Aから直線OPに下ろした垂線の長さの比は□である。したがって、直線OPと線分CAの交点の座標は□であり、$s,t,u,v$によらず一定である。ゆえに、$s$を$t$の式で表すと$s=□$である。
(3) 三角形PABと三角形PBCの面積比は$2:3$とする。このとき、直線PBと線分CAの交点の座標は□であり、$s,t,u,v$によらず一定である。
(4) 三角形PCO,三角形POA,三角形PAB,三角形PBCの面積比は$2:3:2:3$とする。このとき、$v$を$u$の式で表すと、$v=□$?であって、$u$のとりうる値の範囲は□?である。---


【解】(1) $\triangle POA=t$ であり、OABCの面積は$5+5(u-2)/2$だから
   $t=\frac{3}{10}\cdot \frac{5}{2}u,$
   $t = (3/4)u$ ……(答)
(2) 2つの三角形の底辺が共通だから高さの比は$2:3$,したがって垂線の長さの比は$2:3$ ……(答)
交点をDとすれば、$AD:DC=3:2$だから$y座標は\frac{3}{5}\times 5=3$だからDの座標は
   $(2, 3)$ ……(答)
であり、直線OPの傾きは $3/2$ となるから、$t=(3/2)s,$よって
   $s = (2/3)t$ ……(答)
(3) 交点をEとすれば、今度は$AE:EC=2:3$だから$y座標は\frac{2}{5}\times 5=2$だからEの座標は
   $(2, 2)$ ……(答)
     
(4) $2:3:2:3$だから、(1),(2),(3)の結果が使える。原点と点(2,3)を結ぶ直線
   $y = (3/2)x$
と、点(2,2)と点$B(u,v)$を結ぶ直線
   $y-2 = \frac{v-2}{u-2}(x-2)$
の交点がPということから、$v$ を求めます。2つの方程式を連立して
   $(3/2)x -2 = \frac{v-2}{u-2}(x-2)$
この式の$x$ に
   $s = (2/3)t = (1/2)u$
を代入すると
   $\frac{3u-8}{4} =\frac{v-2}{u-2} \cdot \frac{(u-4)}{2}$
よって
   $v=\frac{(u-2)(3u-8)}{2(u-4)}+2$
   $=\frac{u(3u-10)}{2(u-4)}$ ……(答)
$u$の動く範囲は $u>2,0<v<(5/2)u$ より求めます。まず、後者から
   $0 < \frac{u(3u-10)}{2(u-4)} < \frac{5}{2}u$
この不等式の解き方ですが、正数 $2(u-4)^2$ を両辺に掛けます。(正数でないと不等号が逆向きになるから。)
   $0 < u(3u-10)(u-4) < 5u(u-4)^2$
この連立不等式を解くと
   $0<u<10/3,4<u,$
   $0<u<4,5<yu$
の共通部分だから
   $0<u<10/3,5<u$
さらに、これと$u>2$との共通部分だから
   $2<u<10/3, 5<u$ ……(答)

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【問題2】 (1) 不等式$x^2-2x+y^2-4y-4<0$がある。不等式を満たす領域を図示せよ。また、その領域の面積を求めよ。
(2) 4つの不等式$2x+y \leq11,x+3y\leq13,x\geq0,y\geq0$が表す領域をDとする。点$(x,y)$が領域Dを動くとき、$2x+3y$がとる値の最大値を求めよ。---

【解】
(1) 円の標準形に変形して
   $(x-1)^2+(y-2)^2<9$
この円の内部で、面積は$9 \pi$ ……(答)
   
(2) D は四角形の内部。
   

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