【知恵袋から】図形と方程式

「YAHOO! 知恵袋」で筆者が回答したものの中から抜粋しました。

【問題1】座標平面上に4点$O(0 ,0),A(2 ,0),B(u, v),C(2, 5)$をとる。ただし$u>2,0<v<(5/2)u$とする。そして、四角形OABCの内部に点$P(s ,t)$をとる。
(1) 三角形POAと四角形OABCの面積比は$3:10$とする。このとき、$t$を$u$の式で表すと$t=□$?である。
(2) 三角形POCと三角形POAの面積比は$2:3$とする。このとき、点C,Aから直線OPに下ろした垂線の長さの比は□である。したがって、直線OPと線分CAの交点の座標は□であり、$s,t,u,v$によらず一定である。ゆえに、$s$を$t$の式で表すと$s=□$である。
(3) 三角形PABと三角形PBCの面積比は$2:3$とする。このとき、直線PBと線分CAの交点の座標は□であり、$s,t,u,v$によらず一定である。
(4) 三角形PCO,三角形POA,三角形PAB,三角形PBCの面積比は$2:3:2:3$とする。このとき、$v$を$u$の式で表すと、$v=□$?であって、$u$のとりうる値の範囲は□?である。---

【解】(1) $\triangle POA=t$ であり、OABCの面積は$5+5(u-2)/2$だから
　　　$t=\frac{3}{10}\cdot \frac{5}{2}u,$
　　　$t = (3/4)u$ ……(答)
(2) 2つの三角形の底辺が共通だから高さの比は$2:3$,したがって垂線の長さの比は$2:3$ ……(答)
交点をDとすれば、$AD:DC=3:2$だから$y座標は\frac{3}{5}\times 5=3$だからDの座標は
　　　$(2, 3)$ ……(答)
であり、直線OPの傾きは $3/2$ となるから、$t=(3/2)s,$よって
　　　$s = (2/3)t$ ……(答)
(3) 交点をEとすれば、今度は$AE:EC=2:3$だから$y座標は\frac{2}{5}\times 5=2$だからEの座標は
　　　$(2, 2)$ ……(答)
　　　　　
(4) $2：3：2：3$だから、(1),(2),(3)の結果が使える。原点と点(2,3)を結ぶ直線
　　　$y = (3/2)x$
と、点(2,2)と点$B(u,v)$を結ぶ直線
　　　$y-2 = \frac{v-2}{u-2}(x-2)$
の交点がPということから、$v$ を求めます。2つの方程式を連立して
　　　$(3/2)x -2 = \frac{v-2}{u-2}(x-2)$
この式の$x$ に
　　　$s = (2/3)t = (1/2)u$
を代入すると
　　　$\frac{3u-8}{4} =\frac{v-2}{u-2} \cdot \frac{(u-4)}{2}$
よって
　　　$v=\frac{(u-2)(3u-8)}{2(u-4)}+2$
　　　$=\frac{u(3u-10)}{2(u-4)}$ ……(答)
$u$の動く範囲は $u>2,0<v<(5/2)u$ より求めます。まず、後者から
　　　$0 < \frac{u(3u-10)}{2(u-4)} < \frac{5}{2}u$
この不等式の解き方ですが、正数 $2(u-4)^2$ を両辺に掛けます。(正数でないと不等号が逆向きになるから。)
　　　$0 < u(3u-10)(u-4) < 5u(u-4)^2$
この連立不等式を解くと
　　　$0<u<10/3,4<u,$
　　　$0<u<4,5<yu$
の共通部分だから
　　　$0<u<10/3,5<u$
さらに、これと$u>2$との共通部分だから
　　　$2<u<10/3, 5<u$ ……(答)

【問題2】 (1) 不等式$x^2-2x+y^2-4y-4<0$がある。不等式を満たす領域を図示せよ。また、その領域の面積を求めよ。
(2) ４つの不等式$2x+y \leq11,x+3y\leq13,x\geq0,y\geq0$が表す領域をDとする。点$(x,y)$が領域Dを動くとき、$2x+3y$がとる値の最大値を求めよ。---
【解】
(1) 円の標準形に変形して
　　　$(x-1)^2+(y-2)^2<9$
この円の内部で、面積は$9 \pi$ ……(答)
　　　
(2) D は四角形の内部。
　　　

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