楕円と双曲線
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【問題】 2次曲線 $ax^{2}+bxy+cy^{2}=k$ の表わす図形は何か。---

2次曲線と言っているから、 $a,b,c$ のうち少なくとも 1つは 0 ではない。
標準形($xy$の項がない形)に直すため、$x-y$ 座標軸を原点 $O$ の周りに $\theta$ だけ回転して、新座標軸 $X-Y$ を作る。
　　　
　　　$x=X \cos \theta -Y \sin \theta,$
　　　$y=X \sin \theta +Y \cos \theta$
となるので、これを代入して
$(a\cos^{2}\theta +b\cos\theta\sin\theta +c\sin^{2}\theta)X^{2}
+(-2a\cos\theta\sin\theta +b\cos^{2}\theta-b\sin^{2}\theta +2c \sin\theta\cos\theta)XY
+(a\sin^{2}\theta -b\sin\theta\cos\theta +c\cos^{2}\theta)Y^{2}=k$
$(a \frac{1+\cos 2\theta}{2} +b \frac{\sin 2\theta}{2} +c\frac{1-\cos 2\theta}{2})X^{2}
+(-2a\frac{\sin 2\theta}{2} +b\frac{1+\cos 2\theta}{2} -b\frac{1-\cos 2\theta}{2} +2c\frac{\sin 2\theta}{2})XY
+(a\frac{1-\cos 2\theta}{2} -b\frac{\sin 2\theta}{2} +c\frac{1+\cos 2\theta}{2} )Y^{2}=k$
$(a +a\cos 2\theta +b \sin 2\theta +c-c\cos 2\theta)X^{2}
+(-2a\sin 2\theta +b+b\cos 2\theta -b+b\cos 2\theta +2c\sin 2\theta)XY
+(a-a\cos 2\theta -b\sin 2\theta +c+c\cos 2\theta )Y^{2}=2k$
結局、
$\{(a-c)\cos 2\theta +b \sin 2\theta +a+c\}X^{2}
+\{2b\cos 2\theta-2(a-c)\sin 2\theta \}XY
+\{-(a-c)\cos 2\theta -b\sin 2\theta +a+c \}Y^{2}=2k$
となる。ここで $XY$ の係数 = 0 より
　　　$\tan 2\theta =\frac{\sin 2\theta}{\cos2\theta}=\frac{b}{a-c}$
となる。

したがって
　　　$\cos 2\theta=\frac{a-c}{\sqrt{(a-c)^{2}+b^{2}}}$
　　　$\sin 2\theta=\frac{b}{\sqrt{(a-c)^{2}+b^{2}}}$
だから、
$(\frac{(a-c)^{2}}{\sqrt{(a-c)^{2}+b^{2}}} + \frac{b^{2}}{\sqrt{(a-c)^{2}+b^{2}}} +a+c)X^{2}
+(-\frac{(a-c)^{2}}{\sqrt{(a-c)^{2}+b^{2}}} -\frac{b^{2}}{\sqrt{(a-c)^{2}+b^{2}}} +a+c )Y^{2}=2k$
すなわち

$(a+c+\sqrt{(a-c)^{2}+b^{2}} )X^{2}+(a+c-\sqrt{(a-c)^{2}+b^{2}} )Y^{2}=2k$

と変形できた。

ここで係数の符号を調べるために $\sqrt{(a-c)^{2}+b^{2}}$ と $ a+c$ の大小を調べよう。
2乗して比較すると
　　　$(\sqrt{(a-c)^{2}+b^{2}})^{2}-( a+c)^{2}=b^{2}-4ac$
この値($=D$とおく）を判別式と呼ぶ。

(イ)$D>0$のとき
$\sqrt{(a-c)^{2}+b^{2}}>\pm( a+c)$ だから、$X^{2}$ の係数は正、$Y^{2}$ の係数は負であるので、適宜置き換えをすれば、
$k \neq 0 $ のとき
　　　$\frac{X^{2}}{A^{2}} -\frac{Y^{2}}{B^{2}} =\pm 1$
で双曲線、
$k=0$のときは
　　　$Y=\pm \frac{B}{A}X$
で2直線。

(ロ)$D=0$のとき
$\sqrt{(a-c)^{2}+b^{2}}=\pm( a+c)$ だから、$X^{2}$ または $Y^{2}$ の係数は 0 になるので、適宜置き換えをすれば、
　　　$X=\pm A $または $ Y=\pm B$
で平行な2直線。

(ハ)$D<0$のとき
$a+c < -\sqrt{(a-c)^{2}+b^{2}} $ または $\sqrt{(a-c)^{2}+b^{2}}< a+c$ だから、$X^{2}$ と $Y^{2}$ の係数は同符号であるので、適宜置き換えをすれば、
$k \neq 0 $ のとき
　　　$\frac{X^{2}}{A^{2}} +\frac{Y^{2}}{B^{2}} =\pm 1$
で楕円、または虚楕円(空集合)であり、
$k=0$ のときは
　　　$\frac{X^{2}}{A^{2}} +\frac{Y^{2}}{B^{2}} =0$
で原点。■

【問題】 $ax^{2}+bxy+cy^{2}=k$ が楕円を表わすとき、その面積を求めよ。---

楕円
　　　$\frac{X^{2}}{A^{2}} +\frac{Y^{2}}{B^{2}} =1$
は、円
　　　$X^{2} +Y^{2}=A^{2}$
を縦方向に$B/A$倍に拡大(縮小)したものであるから、面積$S$は
　　　
　　　$S=\pi A^{2} \times \frac{B}{A} =\pi A B$
ここで$A,B$は
　　　$A=\frac{\sqrt{2 |k|} }{\sqrt{| a+c+\sqrt{(a-c)^{2}+b^{2}}| } }$
　　　$B=\frac{\sqrt{2 |k|} }{\sqrt{| a+c-\sqrt{(a-c)^{2}+b^{2}}| } }$
であったから、
　　　$S=\frac{2 \pi |k |}{\sqrt{| (a+c)^{2}- \{ (a-c)^{2}+b^{2} \} |}} = \frac{2 \pi |k|}{\sqrt{| 4ac-b^{2}|}}= \frac{2\pi |k| }{\sqrt{-D}}$■