【問題】 $30x^{2}+36x+6$ を因数分解せよ。---
【解説】 因数分解ではどの数体系の上で行うのかが重要である。例えば $x^2+1$ は複素数係数上でなら
$x^2 +1=(x+i)(x-i)$
と、複素数係数の多項式の積に直せるが、実数係数上では因数分解できない（既約であるという）。
【解】(ア) 整数係数上で因数分解する場合。
$30x^{2}+36x+6=6(5x^2+6x+1)=2 \cdot 3 \cdot (x+1)(5x+1)$ ……（答）
(イ) 有理数係数上で因数分解する場合。
定数項のみの多項式、たとえば $2$ を因数分解しようとしたら
$2=3 \times \frac{2}{3}=\frac{5}{6}\times \frac{12}{5}=\cdots$
のようにどのようにもできてしまう。そのときはモニックな多項式（最高次の係数が $1$ の多項式）の積に因数分解するのがふつうである。今の場合なら
$30x^{2}+36x+6=6(5x^2+6x+1)=30 (x+1)(x+\frac{1}{5})$ ……（答）
となる。
【対策】 本来はどの数体系で因数分解するかを示さないで、出題することはできない。もし出題されたら、なんと答を書けばよいだろうか。
もし「$5x^{2}+6x+1$ を因数分解せよ」だったら、答は何と書く？ この場合は整数係数上で因数分解するものと解釈する。狭い数体系で因数分解できるのなら、それに越したことはないと考えるわけだ。それで
$5x^{2}+6x+1=(x+1)(5x+1)$ ……（答）
とする。
