なぜ
$\frac{1}{\sqrt{2} } = \frac{\sqrt{2}} {2}$
と直すのか、その理由は
$\sqrt{2} =1.41421356$
だが、左辺では
$\frac{1}{1.41421356} = 1 \div 1.41421356$
で計算が大変。それにくらべ右辺は
$\frac{1.41421356}{2} = 1.41421356 \div 2 = 0.70710678$
と暗算でもできるくらい簡単。
だから有理化する。
割り算して近似値を求める必要がないのであれば、何も分母を有理化することはない。
だから、問題文に「次の式の分母を有理化せよ」と書いてなければ、有理化しなくてよい。
【有理化の方法】
$\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} = \frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}} {(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})} =\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}} {a -b}$
のようにやればいい。
たとえば
$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$なら
というように田の字計算ができて
$ = \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}} {(\sqrt{3}+\sqrt{2})\sqrt{3}-\sqrt{2})} = \sqrt{3}-\sqrt{2}$
となる。
中学でやった問題は
$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}-0} {(\sqrt{2}+0)(\sqrt{2}-0)} = \frac{\sqrt{2}} {2}$
のように考えれば高校の有理化と同じだ。
【応用編】
$\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}+\sqrt{2}}$
の分母を有理化するとどうなるか？
←
パラパラまんが上記の田の字から
$(\sqrt{5} +\sqrt{3} +\sqrt{2})(\sqrt{5} -\sqrt{3} -\sqrt{2})=5-(3+2 \sqrt{6}+2)=-2\sqrt{6}$
だから分母・分子に
$-\sqrt{6} (\sqrt{5} -\sqrt{3} -\sqrt{2}) $を掛ければよい、と分かる。
$\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}+\sqrt{2}} = \frac{-\sqrt{6} (\sqrt{5} -\sqrt{3} -\sqrt{2})}{12}= \frac{-\sqrt{30} +3\sqrt{2} +2\sqrt{3}}{12}$
