ゼータ関数について

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§1. 調和級数

§2. バーゼル問題

複素変数$s$を含む級数
　　　$\zeta(s)=\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s}$
を、リーマンのゼータ関数と呼ぶ。

§1. 調和級数

【問題1】 調和級数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ は発散することを証明せよ。---

【証明】 明らかに発散する級数より大きいことを言えばよい。
　　　$1 =1$
　　　$\frac{1}{2} =\frac{1}{2}$
　　　$\frac{1}{3 } + \frac{1}{4 } > \frac{1}{4 } + \frac{1}{4 }=\frac{1}{2}$
　　　$\frac{1}{5 } + \frac{1}{6 } + \frac{1}{7 } + \frac{1}{8 }>\frac{1}{8 } + \frac{1}{8 } +\frac{1}{8 } + \frac{1}{8 }=\frac{1}{2}$
　　　$\frac{1}{9 } + \cdots +\frac{1}{16 } > \frac{1}{16 } + \cdots+ \frac{1}{16 }= \frac{1}{2 }$
　　　$\frac{1}{17} + \cdots+ \frac{1}{32 } >\frac{1}{2 }$
　　　$ \frac{1}{33 }+\cdots +\frac{1}{64 } > \frac{1}{2} $
　　　……………………………………………………………………
だから
　　　$1+\frac{1}{2} +\frac{1}{3}+ \cdots +\frac{1}{2^{k}} >1+\frac{1}{2}\times k$
よって
　　　$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} = \infty$ ■

【別証明】 積分を使って証明する。
　　　
上図から分かるように
　　　$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} > \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x}dx$
　　　$=[\log x]_{1}^{\infty} =\infty$ ■

【さらに別証明】 有限確定値$S$に収束したとする。
　　　$S=\frac{1}{1 } +\frac{1}{2 } +\frac{1}{3 } +\frac{1}{4 } +\cdots$
　　　$ =(\frac{1}{1 } +\frac{1}{3 } +\frac{1}{5 } +\cdots)+(\frac{1}{2 } +\frac{1}{4 } +\frac{1}{6 } +\cdots)$
　　　$=(\frac{1}{1 } +\frac{1}{3 } +\frac{1}{5 } +\cdots)+\frac{1}{2}(\frac{1}{1 } +\frac{1}{2 } +\frac{1}{3 } +\cdots)$
　　　$=(\frac{1}{1 } +\frac{1}{3 } +\frac{1}{5 } +\cdots)+\frac{1}{2}S$
移項すれば
　　　$\frac{1}{2}(\frac{1}{1 } +\frac{1}{2 } +\frac{1}{3 } +\frac{1}{4 } +\cdots)=\frac{1}{1 } +\frac{1}{3 } +\frac{1}{5 } +\frac{1}{7}+\cdots$,
　　　$\frac{1}{2 } +\frac{1}{4 } +\frac{1}{6 } +\frac{1}{8 } +\cdots=\frac{1}{1 } +\frac{1}{3 } +\frac{1}{5 } +\frac{1}{7}+\cdots$

ところが、$\frac{1}{2 } <\frac{1}{1 }$, $\frac{1}{4 } <\frac{1}{3 }$, $\frac{1}{6 } <\frac{1}{5 },\cdots$だから右辺の方が大きくなり、等しくはならない。これは矛盾。■
この証明の欠点は足す順序を変更している点にある。足す順序を変えれば和が変わる可能性がある。
実際そういう級数があることを大学で教わるのだが、今の場合は「収束する正項級数は順序を変えて足しても同じ値に収束する」という定理があって、それを前提とすればこの証明は正しい。

§2. バーゼル問題

【問題2】 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ は収束することを証明せよ。---

【証明】 積分を使って証明しよう。
　　　$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} =1+\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n^2} $
　　　$<1+ \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^2}dx$
　　　$=1-[\frac{1}{x} ]_{1}^{\infty} =2$
第$n$部分和 $S_{N}=\displaystyle \sum_{n=1}^{N} \frac{1}{n^2} $は単調増加で上に有界だから、有限確定値に収束する。■


【問題3】 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ の近似値を求めよ。---

【解答例】Excelで計算する。第100部分和を求めてみたのが、下図。

1	=1/A1/A1	=B1
2	=1/A2/A2	=C1+B2
3	=1/A3/A3	=C2+B3
4	=1/A4/A4	=C3+B4
5	=1/A5/A5	=C4+B5

1	1	1
2	0.25	1.25
3	0.111111	1.361111
4	0.0625	1.423611
5	0.04	1.463611
100	0.0001	1.634984

近似値は1.63だが、これは$\frac{\pi^2}{6}=1.645$に近い。


【問題4】 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}$ であることを証明せよ。---

【証明】$\sin x$は奇関数だが、これをテイラー展開すると
　　　$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots$
であることと、零点が$x=\pm n \pi$ ($n$ 非負整数)であることから、次のように無限乗積に展開できる。
　　　$\displaystyle \sin x=c x\prod_{n=1}^{\infty} (1-\frac{x^2}{n^2 \pi^2})$
ここで$c$は定数だが、テイラー展開の式と1次の項を比較すれば、$c=1$ を得る。よって
　　　$\displaystyle \sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots= x\prod_{n=1}^{\infty} (1-\frac{x^2}{n^2 \pi^2})$
次に3次の項を比較すれば
　　　$-\frac{1}{3!}=-(\frac{1}{ \pi^2}+\frac{1}{2^2 \pi^2}+\frac{1}{3^2 \pi^2}+\cdots)$,
　　　$\frac{1}{6}=\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2 \pi^2}$■

上の問題をバーゼル問題と呼び、オイラーが解決した。


【問題5】 $s$を実数とするとき $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ は$s \leq 1$のとき発散、$s>1$のとき収束することを証明せよ。 ---

【証明】 $n>1$のとき$n^s$は$s$についての単調増加関数だから、$\frac{1}{n^s} (>0)$は単調減少である。
（ア）$s \leq 1$のとき
　　　$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n^s} \geq \displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n} \rightarrow \infty$
で発散。
（イ））$s > 1$のとき、$s=1+s'$ $(s'>0)$と置き換えれば
　　　$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s} =1+\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n^{1+s'}} $
　　　$<1+ \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{1+s'}}dx$
　　　$=1-\frac{1}{s'}[\frac{1}{x^{s'}} ]_{1}^{\infty} $
　　　$=1-\frac{1}{s'}<\infty$
有限確定値に収束する。■