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§1. eを定義する数列
§2. eに収束する級数
$e$ というのはネピア数であり、自然対数の底とも言われる。伝統的にその値は、ある数列の極限値で定義される。その数列とは問題1の数列 $\{a_{n}\}$ であるが、収束のスピードが遅いのであまり良い定義ではないが、歴史的経緯があって仕方がない。
【問題1.1】 一般項が $a_{n}=(1+\frac{1}{n})^{n}$ である数列 $\{ a_{n} \}$ について、すべての自然数 $n$ に対し、$a_{n} < a_{n+1}$ (単調増加)が成り立つことを証明せよ。---
【証明】 $a_{n}$ を二項展開すると
$\displaystyle \sum_{k=0}^{n} $$_{n}C_{k}(\frac{1}{n})^{k}$
$=\sum \frac{n!}{k!(n-k)!} \cdot \frac{1}{n^{k}}$
$=\sum \frac{1}{k!} \frac{n(n-1) \cdot \cdots \cdot (n-k+1)}{n \cdot
n \cdot \cdots \cdot n}$
$= \sum \frac{1}{k!} (1- \frac{1}{n}) \cdot \cdots \cdot (1- \frac{k-1}{n})$
$n$ が 1 増加すると、各項($\sum$ の中) が増加し、しかも項数も 1 増すから、$a_{n}<a_{n+1}$■
上記の数列は単調増加だから、その級数の和（級数）は∞に発散するかもしれないと思われるが、実際には有限確定値 $e$ に収束する。これで $e$
を定義することとする。すなわち
【定義】 $e=\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}(1+\frac{1}{n})^{n}$
【問題1.2】 一般項が $b_{n}=(1+\frac{1}{n})^{n+1}$ である数列 $\{ b_{n} \}$ について、すべての自然数 $n$
に対し、$b_{n} > b_{n+1}$ (単調減少)が成り立つことを証明せよ。---
【証明】 $b_{n}=(1+\frac{1}{n})^{n+1}=(1/\frac{n}{n+1})^{n+1}=1/(1-\frac{1}{n+1})^{n+1}$
だから、
$c_{n}=(1-\frac{1}{n})^{n}$
が単調増加することを示せばよい。
$c_{n}$を二項展開すると
$c_{n}=\displaystyle \sum_{k=0}^{n} $$_{n}C_{k}(-\frac{1}{n})^{k}=\displaystyle \sum_{i=0}^{[(n+1)/2]-1}
\{ $$_{n}C_{2i}(-\frac{1}{n})^{2i} + $$_{n}C_{2i+1}(-\frac{1}{n})^{2i+1}
\} +K$
ここに $[ \mbox{ } ]$ はガウスの記号で、$K$ は $n$ が偶数のときの $k=n$ に対応する項($>0$)である($n$
が奇数のときは $K=0$)。
$c_{n}=\sum \{ \frac{n!}{(2i)!(n-2i)!} \cdot \frac{1}{n^{2i}} -\frac{n!}{(2i+1)!(n-2i-1)!}
\cdot \frac{1}{n^{2i+1}} \}+K$
において、$\{ \mbox{ } \}$ を取り出して計算しよう。
$\frac{n!}{(2i)!(n-2i)!} \cdot \frac{1}{n^{2i}} -\frac{n!}{(2i+1)!(n-2i-1)!}
\cdot \frac{1}{n^{2i+1}} $
$=\frac{n!}{k!(n-k)!} \cdot \frac{1}{n^{k}} -\frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!} \cdot \frac{1}{n^{k+1}} $
$= \frac{1}{k!} (1- \frac{1}{n}) \cdot \cdots \cdot (1- \frac{k-1}{n})
- \frac{1}{(k+1)!} (1- \frac{1}{n}) \cdot \cdots \cdot (1- \frac{k-1}{n})\cdot
(1- \frac{k}{n})$
$= \frac{1}{k!} (1- \frac{1}{n}) \cdot \cdots \cdot (1- \frac{k-1}{n})
\{ 1- \frac{1}{k+1}(1- \frac{k}{n}) \}$
$= \frac{1}{k!} (1- \frac{1}{n}) \cdot \cdots \cdot (1- \frac{k-1}{n})
\cdot \frac{k}{k+1}(1+\frac{1}{n})$
$= \frac{k}{(k+1)!} (1- \frac{1}{n^2}) (1- \frac{2}{n})\cdot \cdots
\cdot (1- \frac{k-1}{n}) $
$n$が1増加すると、$\{ \mbox{ } \}$ の項の値は増加し、しかも項数が1増す($K$ のこと)可能性があるから、$c_{n}<c_{n+1}$■
【蛇足】 上記の2つの数列の極限値は
$\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty} a_{n}=e$,
$\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty} b_{n}=\lim a_{n}\times(1+\frac{1}{n})=e$
でいずれも、自然対数の底 $e$である。
数列 $\{ b_{n}\}$ の方は各項が正($b_{n}>0$)で単調減少だから、正または 0 に収束する。先ほどは $\{a_{n}\}$
は「∞に発散するかも」と言ったが、これで有限値に収束することが分かった。
ところで
$a_{1}<a_{2}< \cdots <e<\cdots <b_{2}<b_{1}$
となることに注意して、この数列で $e$ の近似値および誤差を求めてみよう。Excel で計算すると次のようになる。（ suretsu006.xlsx をクリックして Excel ファイルをダウンロードできる。）4列目が $a_{n}$ の値、5列目が $b_{n}$ の値、6列目の「差」が
$b_{n}-a_{n}$ の値である。これが 0 にどれくらい近いかで近似値の精度が分かる。
n1/n1+1/nn乗n+1乗差11.000000002.000000002.000000004.000000002.0000000020.500000001.500000002.250000003.375000001.1250000030.333333331.333333332.370370373.160493830.7901234640.250000001.250000002.441406253.051757810.6103515650.200000001.200000002.488320002.985984000.4976640060.166666671.166666672.521626372.941897430.4202710670.142857141.142857142.546499702.910285370.3637856780.125000001.125000002.565784512.886507580.3207230690.111111111.111111112.581174792.867971990.28679720100.100000001.100000002.593742462.853116710.25937425110.090909091.090909092.604199012.840944380.23674536120.083333331.083333332.613035292.830788230.21775294130.076923081.076923082.620600892.822185570.20158468140.071428571.071428572.627151562.814805240.18765368150.066666671.066666672.632878722.808403970.17552525160.062500001.062500002.637928502.802799030.16487053170.058823531.058823532.642414382.797850510.15543614180.055555561.055555562.646425822.793449480.14702366190.052631581.052631582.650034332.789509820.13947549200.050000001.050000002.653297712.785962590.13266489210.047619051.047619052.656263212.782751940.12648872220.045454551.045454552.658969862.779832120.12086227230.043478261.043478262.661450122.777165340.11571522240.041666671.041666672.663731262.774720060.11098880250.040000001.040000002.665836332.772469780.10663345260.038461541.038461542.667784972.770392080.10260711270.037037041.037037042.669593982.768467830.09887385280.035714291.035714292.671277852.766680630.09540278290.034482761.034482762.672849142.765016360.09216721300.033333331.033333332.674318782.763462740.08914396310.032258061.032258062.675696312.762009090.08631278320.031250001.031250002.676990132.760646070.08365594330.030303031.030303032.678207652.759365460.08115781340.029411761.029411762.679355432.758160000.07880457350.028571431.028571432.680439292.757023270.07658398360.027777781.027777782.681464422.755949540.07448512370.027027031.027027032.682435482.754933730.07249826
これだけ計算しても小数第1位すら決定できない。たしかに収束のスピードが遅い。
【問題2.1】極限値 $\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}$ (指数級数の和)を求めよ。---
【解】 先回りして言うと答は
$1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots=e$
である。$e$ の定義式：
$e=\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty} (1+\frac{1}{n})^{n}$
を変形していこう。
$(1+\frac{1}{n})^{n}=\displaystyle \sum_{k=0}^{n} $$_{n}C_{k}(\frac{1}{n})^{k}$
$=\sum \frac{n!}{k!(n-k)!} \cdot \frac{1}{n^{k}}=\sum \frac{1}{k!} \frac{n(n-1)
\cdot \cdots \cdot (n-k+1)}{n \cdot n \cdot \cdots \cdot n}$
$= \sum \frac{1}{k!} (1- \frac{1}{n}) \cdot \cdots \cdot (1- \frac{k-1}{n})$
ここで $\sum$ の中の項において $n\rightarrow\infty$ とすれば
$\frac{1}{k!} (1- \frac{1}{n}) \cdot \cdots \cdot (1- \frac{k-1}{n})
\rightarrow \frac{1}{k!} (1\cdot \cdots \cdot 1)=\frac{1}{k!}$
だから
$(1+\frac{1}{n})^{n}=\displaystyle \sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}$
ここでまた極限をとれば
$\displaystyle \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}=\lim_{n\rightarrow \infty} (1+\frac{1}{n})^{n}=e$
……(答)
【蛇足】 この計算は厳密ではない。本質的に
$\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty} \displaystyle \sum_{k=0}^{n} $$_{n}C_{k}(\frac{1}{n})^{k}
=\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} \lim_{n\rightarrow \infty} $$_{n}C_{k}(\frac{1}{n})^{k}
$
という性質（極限と無限和の順序交換）を使っているが、それがほんとに成り立つかについて考慮していないからである。
なお問題の級数は収束のスピードが速いことで有名で、$e$ の近似値を求めるにはこの級数を利用するのがよい。
【問題2.2】 $\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty} (1+\frac{x}{n})^{n}$ を無限級数の和の形で表せ。---
【解】 上記【蛇足】で述べた性質が成り立つことが仮定できれば
$(1+\frac{x}{n})^{n}=\displaystyle \sum_{k=0}^{n} $$_{n}C_{k}(\frac{x}{n})^{k}$
$=\sum \frac{n!}{k!(n-k)!} \cdot \frac{x^k}{n^{k}}=\sum \frac{1}{k!}
\frac{n(n-1) \cdot \cdots \cdot (n-k+1)}{n \cdot n \cdot \cdots \cdot n}
x^k$
$= \sum \frac{1}{k!} (1- \frac{1}{n}) \cdot \cdots \cdot (1- \frac{k-1}{n})
x^k$
となり、
$\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty} (1+\frac{x}{n})^{n} =\lim_{n\rightarrow
\infty} \displaystyle \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} (1- \frac{1}{n}) \cdot \cdots \cdot
(1- \frac{k-1}{n}) x^k$
$=\displaystyle \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{k!} (1- \frac{1}{n})
\cdot \cdots \cdot (1- \frac{k-1}{n}) x^k$
$=\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!}$ ……(答)
【問題2.3】 $\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!}=1+x+\frac{x^2}{2}+\cdots$
を微分せよ。---
【解】 $f(x)=\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!}=1+x+\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{3!}x^3+\cdots$
とおけば
$f'(x)=(1+x+\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{3!}x^3+\cdots)' =1+x+\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{3!}x^3+\cdots$
したがって導関数は元の関数に等しい。
【答】 $(\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!})'=\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!}$
【蛇足】 「微分方程式 $\frac{d}{dx}y=y$ の解は $y=Ce^x$ ($C$ は定数)」なることを既知とすれば、問題2.3は $f'(x)=f(x),
f(0)=1$ を意味するから、$f(x)=e^x$ である。
ここでは
$\frac{d}{dx} \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} $$_{n}C_{k}(\frac{x}{n})^{k} =\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty}
\frac{d}{dx} $$_{n}C_{k}(\frac{x}{n})^{k} $
という微分と無限和の順序交換の公式を断りなしに使った。
また問題の無限級数は $-\infty<x<\infty$ において収束するのだが、それの確認を怠ったし、導関数の収束条件にも触れなかった。いずれも大学レベルの内容だからだ。
厳密に言えば問題がある論証だが、問題2.2 と問題2.3 から
$ e^x=\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty} (1+\frac{x}{n})^{n}$
なることが言える。大雑把に言えば
$\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty} (1+\frac{x}{n})^{n}=\{ \lim(1+\frac{1}{n/x})^{n/x}\}^x=e^x$
が成り立つって訳だ。
ここで $n/x=y$ とおいて、$\{ \}$ の中の極限値が $e$ になることを確認しておこう。
【問題2.4】 $y$ を実数（自然数ではない）の変数とする。 $\displaystyle \lim_{y \rightarrow \infty}(1+\frac{1}{y})^y=e$ を証明せよ。---
【証明】 挟み撃ちで行く。$n\leq y<n+1$ なる整数 $n$ をとる。
$(1+\frac{1}{n+1})^n < (1+\frac{1}{y})^y< (1+\frac{1}{n})^{n+1}$
$\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty} (1+\frac{1}{n+1})^{n+1}/(1+\frac{1}{n+1}) \leq \lim_{y\rightarrow\infty} (1+\frac{1}{y})^y\leq \lim_{n\rightarrow\infty}(1+\frac{1}{n})^{n}\cdot(1+\frac{1}{n})$
$\displaystyle e/1 \leq \lim_{y\rightarrow\infty} (1+\frac{1}{y})^y\leq e\cdot 1$
$\displaystyle \lim_{y\rightarrow\infty} (1+\frac{1}{y})^y=e$ ■
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