eに関連する数列・級数

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§1. eを定義する数列

§2. eに収束する級数

§1. eを定義する数列

$e$ というのはネピア数であり、自然対数の底とも言われる。伝統的にその値は、ある数列の極限値で定義される。その数列とは問題1の数列 $\{a_{n}\}$ であるが、収束のスピードが遅いのであまり良い定義ではないが、歴史的経緯があって仕方がない。

【問題1.1】 一般項が $a_{n}=(1+\frac{1}{n})^{n}$ である数列 $\{ a_{n} \}$ について、すべての自然数 $n$ に対し、$a_{n} < a_{n+1}$ (単調増加)が成り立つことを証明せよ。---

【証明】 $a_{n}$ を二項展開すると
　　　$\displaystyle \sum_{k=0}^{n} $$_{n}C_{k}(\frac{1}{n})^{k}$
　　　$=\sum \frac{n!}{k!(n-k)!} \cdot \frac{1}{n^{k}}$
　　　$=\sum \frac{1}{k!} \frac{n(n-1) \cdot \cdots \cdot (n-k+1)}{n \cdot n \cdot \cdots \cdot n}$
　　　$= \sum \frac{1}{k!} (1- \frac{1}{n}) \cdot \cdots \cdot (1- \frac{k-1}{n})$
$n$ が 1 増加すると、各項($\sum$ の中) が増加し、しかも項数も 1 増すから、$a_{n}<a_{n+1}$■

上記の数列は単調増加だから、その級数の和（級数）は∞に発散するかもしれないと思われるが、実際には有限確定値 $e$ に収束する。これで $e$ を定義することとする。すなわち

【定義】 $e=\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}(1+\frac{1}{n})^{n}$

【問題1.2】 一般項が $b_{n}=(1+\frac{1}{n})^{n+1}$ である数列 $\{ b_{n} \}$ について、すべての自然数 $n$ に対し、$b_{n} > b_{n+1}$ (単調減少)が成り立つことを証明せよ。---

【証明】 $b_{n}=(1+\frac{1}{n})^{n+1}=(1/\frac{n}{n+1})^{n+1}=1/(1-\frac{1}{n+1})^{n+1}$
だから、
　　　$c_{n}=(1-\frac{1}{n})^{n}$
が単調増加することを示せばよい。
$c_{n}$を二項展開すると
　　　$c_{n}=\displaystyle \sum_{k=0}^{n} $$_{n}C_{k}(-\frac{1}{n})^{k}=\displaystyle \sum_{i=0}^{[(n+1)/2]-1} \{ $$_{n}C_{2i}(-\frac{1}{n})^{2i} + $$_{n}C_{2i+1}(-\frac{1}{n})^{2i+1} \} +K$
ここに $[ \mbox{　} ]$ はガウスの記号で、$K$ は $n$ が偶数のときの $k=n$ に対応する項($>0$)である($n$ が奇数のときは $K=0$)。
　　　$c_{n}=\sum \{ \frac{n!}{(2i)!(n-2i)!} \cdot \frac{1}{n^{2i}} -\frac{n!}{(2i+1)!(n-2i-1)!} \cdot \frac{1}{n^{2i+1}} \}+K$
において、$\{ \mbox{　} \}$ を取り出して計算しよう。
　　　$\frac{n!}{(2i)!(n-2i)!} \cdot \frac{1}{n^{2i}} -\frac{n!}{(2i+1)!(n-2i-1)!} \cdot \frac{1}{n^{2i+1}} $
　　　$=\frac{n!}{k!(n-k)!} \cdot \frac{1}{n^{k}} -\frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!} \cdot \frac{1}{n^{k+1}} $
　　　$= \frac{1}{k!} (1- \frac{1}{n}) \cdot \cdots \cdot (1- \frac{k-1}{n}) - \frac{1}{(k+1)!} (1- \frac{1}{n}) \cdot \cdots \cdot (1- \frac{k-1}{n})\cdot (1- \frac{k}{n})$
　　　$= \frac{1}{k!} (1- \frac{1}{n}) \cdot \cdots \cdot (1- \frac{k-1}{n}) \{ 1- \frac{1}{k+1}(1- \frac{k}{n}) \}$
　　　$= \frac{1}{k!} (1- \frac{1}{n}) \cdot \cdots \cdot (1- \frac{k-1}{n}) \cdot \frac{k}{k+1}(1+\frac{1}{n})$
　　　$= \frac{k}{(k+1)!} (1- \frac{1}{n^2}) (1- \frac{2}{n})\cdot \cdots \cdot (1- \frac{k-1}{n}) $
$n$が1増加すると、$\{ \mbox{　} \}$ の項の値は増加し、しかも項数が1増す($K$ のこと)可能性があるから、$c_{n}<c_{n+1}$■

【蛇足】 上記の2つの数列の極限値は
　　　$\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty} a_{n}=e$,
　　　$\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty} b_{n}=\lim a_{n}\times(1+\frac{1}{n})=e$
でいずれも、自然対数の底 $e$である。
数列 $\{ b_{n}\}$ の方は各項が正($b_{n}>0$)で単調減少だから、正または 0 に収束する。先ほどは $\{a_{n}\}$ は「∞に発散するかも」と言ったが、これで有限値に収束することが分かった。

ところで
　　　$a_{1}<a_{2}< \cdots <e<\cdots <b_{2}<b_{1}$
となることに注意して、この数列で $e$ の近似値および誤差を求めてみよう。Excel で計算すると次のようになる。（ suretsu006.xlsx をクリックして Excel ファイルをダウンロードできる。）4列目が $a_{n}$ の値、5列目が $b_{n}$ の値、6列目の「差」が $b_{n}-a_{n}$ の値である。これが 0 にどれくらい近いかで近似値の精度が分かる。

これだけ計算しても小数第1位すら決定できない。たしかに収束のスピードが遅い。

§2. eに収束する級数

【問題2.1】極限値 $\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}$ (指数級数の和)を求めよ。---

【解】 先回りして言うと答は
　　　$1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots=e$
である。$e$ の定義式：
　　　$e=\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty} (1+\frac{1}{n})^{n}$
を変形していこう。
　　　$(1+\frac{1}{n})^{n}=\displaystyle \sum_{k=0}^{n} $$_{n}C_{k}(\frac{1}{n})^{k}$
　　　$=\sum \frac{n!}{k!(n-k)!} \cdot \frac{1}{n^{k}}=\sum \frac{1}{k!} \frac{n(n-1) \cdot \cdots \cdot (n-k+1)}{n \cdot n \cdot \cdots \cdot n}$
　　　$= \sum \frac{1}{k!} (1- \frac{1}{n}) \cdot \cdots \cdot (1- \frac{k-1}{n})$
ここで $\sum$ の中の項において $n\rightarrow\infty$ とすれば
　　　$\frac{1}{k!} (1- \frac{1}{n}) \cdot \cdots \cdot (1- \frac{k-1}{n}) \rightarrow \frac{1}{k!} (1\cdot \cdots \cdot 1)=\frac{1}{k!}$
だから
　　　$(1+\frac{1}{n})^{n}=\displaystyle \sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}$
ここでまた極限をとれば
　　　$\displaystyle \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}=\lim_{n\rightarrow \infty} (1+\frac{1}{n})^{n}=e$ ……(答)

【蛇足】 この計算は厳密ではない。本質的に
　　　$\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty} \displaystyle \sum_{k=0}^{n} $$_{n}C_{k}(\frac{1}{n})^{k} =\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} \lim_{n\rightarrow \infty} $$_{n}C_{k}(\frac{1}{n})^{k} $
という性質（極限と無限和の順序交換）を使っているが、それがほんとに成り立つかについて考慮していないからである。
なお問題の級数は収束のスピードが速いことで有名で、$e$ の近似値を求めるにはこの級数を利用するのがよい。

【問題2.2】 $\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty} (1+\frac{x}{n})^{n}$ を無限級数の和の形で表せ。---

【解】 上記【蛇足】で述べた性質が成り立つことが仮定できれば
　　　$(1+\frac{x}{n})^{n}=\displaystyle \sum_{k=0}^{n} $$_{n}C_{k}(\frac{x}{n})^{k}$
　　　$=\sum \frac{n!}{k!(n-k)!} \cdot \frac{x^k}{n^{k}}=\sum \frac{1}{k!} \frac{n(n-1) \cdot \cdots \cdot (n-k+1)}{n \cdot n \cdot \cdots \cdot n} x^k$
　　　$= \sum \frac{1}{k!} (1- \frac{1}{n}) \cdot \cdots \cdot (1- \frac{k-1}{n}) x^k$
となり、
　　　$\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty} (1+\frac{x}{n})^{n} =\lim_{n\rightarrow \infty} \displaystyle \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} (1- \frac{1}{n}) \cdot \cdots \cdot (1- \frac{k-1}{n}) x^k$
　　　$=\displaystyle \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{k!} (1- \frac{1}{n}) \cdot \cdots \cdot (1- \frac{k-1}{n}) x^k$
　　　$=\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!}$ ……(答)

【問題2.3】 $\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!}=1+x+\frac{x^2}{2}+\cdots$ を微分せよ。---

【解】 $f(x)=\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!}=1+x+\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{3!}x^3+\cdots$
とおけば
　　　$f'(x)=(1+x+\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{3!}x^3+\cdots)' =1+x+\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{3!}x^3+\cdots$
したがって導関数は元の関数に等しい。
【答】 $(\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!})'=\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!}$

【蛇足】 「微分方程式 $\frac{d}{dx}y=y$ の解は $y=Ce^x$ ($C$ は定数)」なることを既知とすれば、問題2.3は $f'(x)=f(x), f(0)=1$ を意味するから、$f(x)=e^x$ である。
ここでは
　　　$\frac{d}{dx} \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} $$_{n}C_{k}(\frac{x}{n})^{k} =\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} \frac{d}{dx} $$_{n}C_{k}(\frac{x}{n})^{k} $
という微分と無限和の順序交換の公式を断りなしに使った。
また問題の無限級数は $-\infty<x<\infty$ において収束するのだが、それの確認を怠ったし、導関数の収束条件にも触れなかった。いずれも大学レベルの内容だからだ。

厳密に言えば問題がある論証だが、問題2.2 と問題2.3 から

$ e^x=\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty} (1+\frac{x}{n})^{n}$

なることが言える。大雑把に言えば

$\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty} (1+\frac{x}{n})^{n}=\{ \lim(1+\frac{1}{n/x})^{n/x}\}^x=e^x$

が成り立つって訳だ。

ここで $n/x=y$ とおいて、$\{ \}$ の中の極限値が $e$ になることを確認しておこう。

【問題2.4】 $y$ を実数（自然数ではない）の変数とする。 $\displaystyle \lim_{y \rightarrow \infty}(1+\frac{1}{y})^y=e$ を証明せよ。---

【証明】 挟み撃ちで行く。$n\leq y<n+1$ なる整数 $n$ をとる。

$(1+\frac{1}{n+1})^n < (1+\frac{1}{y})^y< (1+\frac{1}{n})^{n+1}$
$\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty} (1+\frac{1}{n+1})^{n+1}/(1+\frac{1}{n+1}) \leq \lim_{y\rightarrow\infty} (1+\frac{1}{y})^y\leq \lim_{n\rightarrow\infty}(1+\frac{1}{n})^{n}\cdot(1+\frac{1}{n})$
$\displaystyle e/1 \leq \lim_{y\rightarrow\infty} (1+\frac{1}{y})^y\leq e\cdot 1$
$\displaystyle \lim_{y\rightarrow\infty} (1+\frac{1}{y})^y=e$ ■