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§1. eを定義する数列
§2. eに収束する級数
$e$ というのはネピア数であり、自然対数の底とも言われる。伝統的にその値は、ある数列の極限値で定義される。その数列とは問題1の数列 $\{a_{n}\}$ であるが、収束のスピードが遅いのであまり良い定義ではないが、歴史的経緯があって仕方がない。
【問題1.1】 一般項が $a_{n}=(1+\frac{1}{n})^{n}$ である数列 $\{ a_{n} \}$ について、すべての自然数 $n$ に対し、$a_{n} < a_{n+1}$ (単調増加)が成り立つことを証明せよ。---
【証明】 $a_{n}$ を二項展開すると
$\displaystyle \sum_{k=0}^{n} $$_{n}C_{k}(\frac{1}{n})^{k}$
$=\sum \frac{n!}{k!(n-k)!} \cdot \frac{1}{n^{k}}$
$=\sum \frac{1}{k!} \frac{n(n-1) \cdot \cdots \cdot (n-k+1)}{n \cdot
n \cdot \cdots \cdot n}$
$= \sum \frac{1}{k!} (1- \frac{1}{n}) \cdot \cdots \cdot (1- \frac{k-1}{n})$
$n$ が 1 増加すると、各項($\sum$ の中) が増加し、しかも項数も 1 増すから、$a_{n}<a_{n+1}$■
上記の数列は単調増加だから、その級数の和(級数)は∞に発散するかもしれないと思われるが、実際には有限確定値 $e$ に収束する。これで $e$
を定義することとする。すなわち
【定義】 $e=\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}(1+\frac{1}{n})^{n}$
【問題1.2】 一般項が $b_{n}=(1+\frac{1}{n})^{n+1}$ である数列 $\{ b_{n} \}$ について、すべての自然数 $n$
に対し、$b_{n} > b_{n+1}$ (単調減少)が成り立つことを証明せよ。---
【証明】 $b_{n}=(1+\frac{1}{n})^{n+1}=(1/\frac{n}{n+1})^{n+1}=1/(1-\frac{1}{n+1})^{n+1}$
だから、
$c_{n}=(1-\frac{1}{n})^{n}$
が単調増加することを示せばよい。
$c_{n}$を二項展開すると
$c_{n}=\displaystyle \sum_{k=0}^{n} $$_{n}C_{k}(-\frac{1}{n})^{k}=\displaystyle \sum_{i=0}^{[(n+1)/2]-1}
\{ $$_{n}C_{2i}(-\frac{1}{n})^{2i} + $$_{n}C_{2i+1}(-\frac{1}{n})^{2i+1}
\} +K$
ここに $[ \mbox{ } ]$ はガウスの記号で、$K$ は $n$ が偶数のときの $k=n$ に対応する項($>0$)である($n$
が奇数のときは $K=0$)。
$c_{n}=\sum \{ \frac{n!}{(2i)!(n-2i)!} \cdot \frac{1}{n^{2i}} -\frac{n!}{(2i+1)!(n-2i-1)!}
\cdot \frac{1}{n^{2i+1}} \}+K$
において、$\{ \mbox{ } \}$ を取り出して計算しよう。
$\frac{n!}{(2i)!(n-2i)!} \cdot \frac{1}{n^{2i}} -\frac{n!}{(2i+1)!(n-2i-1)!}
\cdot \frac{1}{n^{2i+1}} $
$=\frac{n!}{k!(n-k)!} \cdot \frac{1}{n^{k}} -\frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!} \cdot \frac{1}{n^{k+1}} $
$= \frac{1}{k!} (1- \frac{1}{n}) \cdot \cdots \cdot (1- \frac{k-1}{n})
- \frac{1}{(k+1)!} (1- \frac{1}{n}) \cdot \cdots \cdot (1- \frac{k-1}{n})\cdot
(1- \frac{k}{n})$
$= \frac{1}{k!} (1- \frac{1}{n}) \cdot \cdots \cdot (1- \frac{k-1}{n})
\{ 1- \frac{1}{k+1}(1- \frac{k}{n}) \}$
$= \frac{1}{k!} (1- \frac{1}{n}) \cdot \cdots \cdot (1- \frac{k-1}{n})
\cdot \frac{k}{k+1}(1+\frac{1}{n})$
$= \frac{k}{(k+1)!} (1- \frac{1}{n^2}) (1- \frac{2}{n})\cdot \cdots
\cdot (1- \frac{k-1}{n}) $
$n$が1増加すると、$\{ \mbox{ } \}$ の項の値は増加し、しかも項数が1増す($K$ のこと)可能性があるから、$c_{n}<c_{n+1}$■
【蛇足】 上記の2つの数列の極限値は
$\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty} a_{n}=e$,
$\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty} b_{n}=\lim a_{n}\times(1+\frac{1}{n})=e$
でいずれも、自然対数の底 $e$である。
数列 $\{ b_{n}\}$ の方は各項が正($b_{n}>0$)で単調減少だから、正または 0 に収束する。先ほどは $\{a_{n}\}$
は「∞に発散するかも」と言ったが、これで有限値に収束することが分かった。
ところで
$a_{1}<a_{2}< \cdots <e<\cdots <b_{2}<b_{1}$
となることに注意して、この数列で $e$ の近似値および誤差を求めてみよう。Excel で計算すると次のようになる。( suretsu006.xlsx をクリックして Excel ファイルをダウンロードできる。)4列目が $a_{n}$ の値、5列目が $b_{n}$ の値、6列目の「差」が
$b_{n}-a_{n}$ の値である。これが 0 にどれくらい近いかで近似値の精度が分かる。
n | 1/n | 1+1/n | n乗 | n+1乗 | 差 |
1 | 1.00000000 | 2.00000000 | 2.00000000 | 4.00000000 | 2.00000000 |
2 | 0.50000000 | 1.50000000 | 2.25000000 | 3.37500000 | 1.12500000 |
3 | 0.33333333 | 1.33333333 | 2.37037037 | 3.16049383 | 0.79012346 |
4 | 0.25000000 | 1.25000000 | 2.44140625 | 3.05175781 | 0.61035156 |
5 | 0.20000000 | 1.20000000 | 2.48832000 | 2.98598400 | 0.49766400 |
6 | 0.16666667 | 1.16666667 | 2.52162637 | 2.94189743 | 0.42027106 |
7 | 0.14285714 | 1.14285714 | 2.54649970 | 2.91028537 | 0.36378567 |
8 | 0.12500000 | 1.12500000 | 2.56578451 | 2.88650758 | 0.32072306 |
9 | 0.11111111 | 1.11111111 | 2.58117479 | 2.86797199 | 0.28679720 |
10 | 0.10000000 | 1.10000000 | 2.59374246 | 2.85311671 | 0.25937425 |
11 | 0.09090909 | 1.09090909 | 2.60419901 | 2.84094438 | 0.23674536 |
12 | 0.08333333 | 1.08333333 | 2.61303529 | 2.83078823 | 0.21775294 |
13 | 0.07692308 | 1.07692308 | 2.62060089 | 2.82218557 | 0.20158468 |
14 | 0.07142857 | 1.07142857 | 2.62715156 | 2.81480524 | 0.18765368 |
15 | 0.06666667 | 1.06666667 | 2.63287872 | 2.80840397 | 0.17552525 |
16 | 0.06250000 | 1.06250000 | 2.63792850 | 2.80279903 | 0.16487053 |
17 | 0.05882353 | 1.05882353 | 2.64241438 | 2.79785051 | 0.15543614 |
18 | 0.05555556 | 1.05555556 | 2.64642582 | 2.79344948 | 0.14702366 |
19 | 0.05263158 | 1.05263158 | 2.65003433 | 2.78950982 | 0.13947549 |
20 | 0.05000000 | 1.05000000 | 2.65329771 | 2.78596259 | 0.13266489 |
21 | 0.04761905 | 1.04761905 | 2.65626321 | 2.78275194 | 0.12648872 |
22 | 0.04545455 | 1.04545455 | 2.65896986 | 2.77983212 | 0.12086227 |
23 | 0.04347826 | 1.04347826 | 2.66145012 | 2.77716534 | 0.11571522 |
24 | 0.04166667 | 1.04166667 | 2.66373126 | 2.77472006 | 0.11098880 |
25 | 0.04000000 | 1.04000000 | 2.66583633 | 2.77246978 | 0.10663345 |
26 | 0.03846154 | 1.03846154 | 2.66778497 | 2.77039208 | 0.10260711 |
27 | 0.03703704 | 1.03703704 | 2.66959398 | 2.76846783 | 0.09887385 |
28 | 0.03571429 | 1.03571429 | 2.67127785 | 2.76668063 | 0.09540278 |
29 | 0.03448276 | 1.03448276 | 2.67284914 | 2.76501636 | 0.09216721 |
30 | 0.03333333 | 1.03333333 | 2.67431878 | 2.76346274 | 0.08914396 |
31 | 0.03225806 | 1.03225806 | 2.67569631 | 2.76200909 | 0.08631278 |
32 | 0.03125000 | 1.03125000 | 2.67699013 | 2.76064607 | 0.08365594 |
33 | 0.03030303 | 1.03030303 | 2.67820765 | 2.75936546 | 0.08115781 |
34 | 0.02941176 | 1.02941176 | 2.67935543 | 2.75816000 | 0.07880457 |
35 | 0.02857143 | 1.02857143 | 2.68043929 | 2.75702327 | 0.07658398 |
36 | 0.02777778 | 1.02777778 | 2.68146442 | 2.75594954 | 0.07448512 |
37 | 0.02702703 | 1.02702703 | 2.68243548 | 2.75493373 | 0.07249826 |
これだけ計算しても小数第1位すら決定できない。たしかに収束のスピードが遅い。
【問題2.1】極限値 $\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}$ (指数級数の和)を求めよ。---
【解】 先回りして言うと答は
$1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots=e$
である。$e$ の定義式:
$e=\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty} (1+\frac{1}{n})^{n}$
を変形していこう。
$(1+\frac{1}{n})^{n}=\displaystyle \sum_{k=0}^{n} $$_{n}C_{k}(\frac{1}{n})^{k}$
$=\sum \frac{n!}{k!(n-k)!} \cdot \frac{1}{n^{k}}=\sum \frac{1}{k!} \frac{n(n-1)
\cdot \cdots \cdot (n-k+1)}{n \cdot n \cdot \cdots \cdot n}$
$= \sum \frac{1}{k!} (1- \frac{1}{n}) \cdot \cdots \cdot (1- \frac{k-1}{n})$
ここで $\sum$ の中の項において $n\rightarrow\infty$ とすれば
$\frac{1}{k!} (1- \frac{1}{n}) \cdot \cdots \cdot (1- \frac{k-1}{n})
\rightarrow \frac{1}{k!} (1\cdot \cdots \cdot 1)=\frac{1}{k!}$
だから
$(1+\frac{1}{n})^{n}=\displaystyle \sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}$
ここでまた極限をとれば
$\displaystyle \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}=\lim_{n\rightarrow \infty} (1+\frac{1}{n})^{n}=e$
……(答)
【蛇足】 この計算は厳密ではない。本質的に
$\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty} \displaystyle \sum_{k=0}^{n} $$_{n}C_{k}(\frac{1}{n})^{k}
=\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} \lim_{n\rightarrow \infty} $$_{n}C_{k}(\frac{1}{n})^{k}
$
という性質(極限と無限和の順序交換)を使っているが、それがほんとに成り立つかについて考慮していないからである。
なお問題の級数は収束のスピードが速いことで有名で、$e$ の近似値を求めるにはこの級数を利用するのがよい。
【問題2.2】 $\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty} (1+\frac{x}{n})^{n}$ を無限級数の和の形で表せ。---
【解】 上記【蛇足】で述べた性質が成り立つことが仮定できれば
$(1+\frac{x}{n})^{n}=\displaystyle \sum_{k=0}^{n} $$_{n}C_{k}(\frac{x}{n})^{k}$
$=\sum \frac{n!}{k!(n-k)!} \cdot \frac{x^k}{n^{k}}=\sum \frac{1}{k!}
\frac{n(n-1) \cdot \cdots \cdot (n-k+1)}{n \cdot n \cdot \cdots \cdot n}
x^k$
$= \sum \frac{1}{k!} (1- \frac{1}{n}) \cdot \cdots \cdot (1- \frac{k-1}{n})
x^k$
となり、
$\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty} (1+\frac{x}{n})^{n} =\lim_{n\rightarrow
\infty} \displaystyle \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} (1- \frac{1}{n}) \cdot \cdots \cdot
(1- \frac{k-1}{n}) x^k$
$=\displaystyle \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{k!} (1- \frac{1}{n})
\cdot \cdots \cdot (1- \frac{k-1}{n}) x^k$
$=\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!}$ ……(答)
【問題2.3】 $\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!}=1+x+\frac{x^2}{2}+\cdots$
を微分せよ。---
【解】 $f(x)=\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!}=1+x+\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{3!}x^3+\cdots$
とおけば
$f'(x)=(1+x+\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{3!}x^3+\cdots)' =1+x+\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{3!}x^3+\cdots$
したがって導関数は元の関数に等しい。
【答】 $(\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!})'=\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!}$
【蛇足】 「微分方程式 $\frac{d}{dx}y=y$ の解は $y=Ce^x$ ($C$ は定数)」なることを既知とすれば、問題2.3は $f'(x)=f(x),
f(0)=1$ を意味するから、$f(x)=e^x$ である。
ここでは
$\frac{d}{dx} \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} $$_{n}C_{k}(\frac{x}{n})^{k} =\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty}
\frac{d}{dx} $$_{n}C_{k}(\frac{x}{n})^{k} $
という微分と無限和の順序交換の公式を断りなしに使った。
また問題の無限級数は $-\infty<x<\infty$ において収束するのだが、それの確認を怠ったし、導関数の収束条件にも触れなかった。いずれも大学レベルの内容だからだ。
厳密に言えば問題がある論証だが、問題2.2 と問題2.3 から
$ e^x=\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty} (1+\frac{x}{n})^{n}$
なることが言える。大雑把に言えば
$\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty} (1+\frac{x}{n})^{n}=\{ \lim(1+\frac{1}{n/x})^{n/x}\}^x=e^x$
が成り立つって訳だ。
ここで $n/x=y$ とおいて、$\{ \}$ の中の極限値が $e$ になることを確認しておこう。
【問題2.4】 $y$ を実数(自然数ではない)の変数とする。 $\displaystyle \lim_{y \rightarrow \infty}(1+\frac{1}{y})^y=e$ を証明せよ。---
【証明】 挟み撃ちで行く。$n\leq y<n+1$ なる整数 $n$ をとる。
$(1+\frac{1}{n+1})^n < (1+\frac{1}{y})^y< (1+\frac{1}{n})^{n+1}$
$\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty} (1+\frac{1}{n+1})^{n+1}/(1+\frac{1}{n+1}) \leq \lim_{y\rightarrow\infty} (1+\frac{1}{y})^y\leq \lim_{n\rightarrow\infty}(1+\frac{1}{n})^{n}\cdot(1+\frac{1}{n})$
$\displaystyle e/1 \leq \lim_{y\rightarrow\infty} (1+\frac{1}{y})^y\leq e\cdot 1$
$\displaystyle \lim_{y\rightarrow\infty} (1+\frac{1}{y})^y=e$ ■
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