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§1. 等比数列の和
§2. 等比に似た数列
§3. 蛇足:ロピタルの定理
§4. 母関数の利用
【例題1】上は等比数列の和の公式で解けた。 それは
モールス信号は、「・」(トン)と「−」(ツー)の2種類の文字を数文字連ねて作られる。8文字以内の信号は何種類作ることが可能か。---
(解) 1文字の信号が2つ、2文字の信号が$2^{2}$つ、3文字の信号が$2^{3}$つ、…と考えて
$2+2^{2} + 2^{3} + \cdots + 2^{8} =2(2^{8}-1) =510$(通り)■
【例題2】(解2)は、母関数(generating function)のアイデアに近い。このアイデアを使った解法をもう一つ示す。
和
$S = 1 + 2x + 3x^{2} +4x^{3} + \cdots + nx^{n-1} $
を求めよ。---
(解1) 教科書流の「掛けて、ずらして引いて、割る」でやると、まず$x$を掛けて
$ xS = x + 2x^{2} + 3x^{3} +4x^{4} + \cdots + nx^{n} $
からこの式をずらして引くと
$ (1-x)S = 1 + x + x^{2} + x^{3} +\cdots + x^{n-1} - nx^{n} $
両辺を$1-x$で割って
$ S = \frac{1-x^{n}}{(1-x)^{2}} - \frac{nx^{n}}{1-x} $
を得る。■
(解2) 等比数列の和の公式
$ f(x) = 1 + x + x^{2} + x^{3} +\cdots + x^{n} = \frac{x^{n+1}-1}{x-1} $
を微分して
$\begin{eqnarray}
S & = & f'(x) \nonumber \\
& = & \frac{nx^{n+1} - (n+1)x^{n}+1}{(x-1)^{2}}
\end{eqnarray}$
を得る。■
【例題3】教科書に載っているこの種の問題は、階乗関数を和分すると明らかなものが多い。
和
$ 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \cdots + (n-1)n $
を求めよ。---
(解1) 先述の$S = \frac{nx^{n+1} - (n+1)x^{n}+1}{(x-1)^{2}}$をもう一度微分(等比の和$f(x)$の2階微分になる)すると、次の式を得る。
$\begin{eqnarray*}
f''(x) & = & 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3x + 3 \cdot 4 x^{2} + \cdots +
(n-1)nx^{n-2} \\
& = &
\frac{(n^{2}-n)x^{n+1} -2(n^{2}-1)x^{n} + (n^{2}+n)x^{n-1} -2}
{(x-1)^{3}}
\end{eqnarray*}$
あとは、ここに$x=1$を代入すればよいようなものだが、それだと$0/0$になってしまう。そこでロピタルの定理を使う。それも3回使うことによって、
$ \displaystyle \lim_{x \rightarrow 1} f''(x) = \frac{n(n+1)(n-1)}{3} $
となる。■
(解2) これは「差分と和分」のページで紹介したやり方だが、
$ \displaystyle \sum_{k=0}^{n-1} k^{[2]} = \frac{1}{3} n^{[3]} $
で、$n$のかわりに$n+1$とおいて
$ \displaystyle \sum_{k=0}^{n} k(k-1) = \frac{1}{3}n(n+1)(n-1) $
である。$\sum k^{2} - \sum k$で計算するより簡単だ。■
(証明) 先の等式等差数列に関連して、なんとロピタルの定理まで出てきた。個数の処理、自然数の数列の和などというと分離量(離散)だから、連続量の数学である微積分とは無関係のように思える。しかし、実際には極限をとったり微分したりという操作が非常に役に立ち、両者の関連の深いことが分かった。
$ 1 + 2x + 3x^{2} +4x^{3} + \cdots + nx^{n-1} =
\frac{nx^{n+1} - (n+1)x^{n} + 1}{(x-1)^{2}} $
において、ロピタルの定理を使う。両辺において、$x \rightarrow 1$とする。右辺は、分母・分子を2階微分すると
$ \frac{n(n+1)n x^{n-1}- (n+1)n(n-1) x^{n-2} }{2} $
となり、このあと $x \rightarrow 1$ として、
$ \frac{n(n+1)}{2} $
で、公式が得られる。■
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