問題の漸化式をズラシ演算子を使って書きなおすと、
$ (\tau - \frac{1}{2})(a_{n}) = 3 $
右辺の定数項の3が消えてくれると、特性方程式は1次方程式になる。そのためには、「平行移動」して定数項をなくそう。
$ (\tau - \frac{1}{2})(a_{n}-p) = 0 $
となってほしいから
$ (\tau - \frac{1}{2})(a_{n}) - (\tau -\frac{1}{2})(p) = 0 $
よって
$ 3 -p +\frac{1}{2}p = 0 $
となるので$p = 6$になればよい。
$ (\tau - \frac{1}{2})(a_{n} -6) = 0 $
であることより、数列$\{ a_{n} -6 \}$の特性方程式は
$ t - \frac{1}{2} =0 $
となり、固有値は$\lambda = 1/2$で、
$ a_{n} - 6 = C \cdot (\frac{1}{2})^{n} $
初期条件から$C=-10$だから
$ a_{n} = 6 -10 \cdot (\frac{1}{2})^{n} $
ここに出てきた$p=6$は、数列の極限値でもあり、「標準形」にするために平行移動した移動量とも言える。■
