[婆茶留高校数学科☆HP] Top pageに戻る このページを閉じる 探したい言葉はここへ→
差分と和分
Copyright (C) virtual_high_school, 1996-2018
§1. 累乗を階乗関数で表す
§2. 和分する
§3. 累乗の和
次の問題について、２つの解を与えてみよう。
【例題1】
大小２つのサイコロを同時に投げる。目の出方は何通りあるか。---
(解1) 重複順列と考えて
$ _{6}\Pi_{2} = 6^{2} = 6 \times 6 = 36 \mbox{通り} \mbox{■} $
(解2) ゾロ目が6通り。ゾロ目でないのが、$ 6 \times 5 = 30 $で、両者合わせて
$ 6 + 30 = 36 \mbox{通り■} $
(解2)は、七面倒くさいやり方のようであるが、この解答には副産物がある。サイコロは6面だが、一般化して$n$面と考える。大小2個の$n$面サイコロを同時に振ったときの目の出方をゾロ目とそうでない場合に分けて考えると
$n^{2} = n + n(n-1)$
となる。このように2項に分けると和分がしやすくなり
$ \sum n^{2} $
が求まる。ただし、教科書では、$(n+1)^{3}-n^{3}=3n^{2}+3n+1$を和分して求めることが多い。
和分の公式については、節を改めて述べることにする。
さて、$ n^{2} = n + _{n}P_{2} = n + n(n-1) $ という等式において左辺の 2乗を 3乗に変えるとどうなるだろうか。
【例題2】
$n \geq 3$ 枚のカードがある。1枚引いて確認の上、もとに戻す。そして、また引く、という具合にこれを3回繰り返す。カードの出方は何通りか。---
(解) 重複順列だから $n^{3}$ だが、「3枚とも同じカード」、「2枚が同じカード」、「すべて異なるカード」に類別して、和をとると
$ n^{3} = n + 3n(n-1) + n(n-1)(n-2) $
となる。■
さらに、3乗を 4乗に変えると、
$ n^{4} = n + _{4}C_{1} \times n(n-1) + \frac{4!}{2!2!} \times _{n}C_{2}
+ \frac{4!}{2!1!1!} \times n \times _{n-1}C_{2} + _{n}P_{4} $
右辺の項は順に、「4枚とも同じカード(フォーカード)」、「3枚が同じカード(スリーカード)」、「ツーペア」、「ワンペア」、「みんなバラバラ」である。
右辺を計算すると、
$ n^{4} $
$= n + 4n(n-1) + 3n(n-1) + 6n(n-1)(n-2) + n(n-1)(n-2)(n-3) $
$ = n + 7n(n-1) + 6n(n-1)(n-2) + n(n-1)(n-2)(n-3) $
たしかに右辺を展開すると左辺になる。でも、左辺を右辺に直す方法は、上のヒントがないと難しい。
上に導いた、累乗を階乗関数で表す公式をまとめておこう。その前に、
$_{n}P_{3} = n(n-1)(n-2)$
などを
$ n^{[3]} $
のように表し、階乗関数と呼ぶことにする。$[\mbox{ }]$はガウスの記号ではなく、上のような意味である。すると、
$\begin{eqnarray}
n^{2} & = & n + n^{[2]} \label{rei:kai0} \\
n^{3} & = & n + 3n^{[2]} + n^{[3]} \\
n^{4} & = & n + 7n^{[2]} + 6n^{[3]} + n^{[4]}
\end{eqnarray}$
と表わすことができる。こう変形すると、和分・差分が非常にやりやすくなる。
階乗関数
$ n^{[k]} = n(n-1)(n-2) \cdots (n-k+1) $
が和分・差分と相性がよいことを示そう。
いくつでも同じだから $k=3$ の場合をやってみよう。まず、差分(階差数列)だが、差分とは
$\Delta a_{n} = a_{n+1} - a_{n}$
であったから
$\Delta n(n-1)(n-2) = (n+1)n(n-1) - n(n-1)(n-2) = 3n(n-1) $
となる。ここで
$ \Delta n^{[3]} = 3 n^{[2]} $
という、導関数の公式 $ D x^{3} = 3 x^{2} $ にそっくりの式が出る。
和分(総和＝Σ) は差分の逆演算だから、$\int x^{2} dx = \frac{1}{3} x^{3} +C$ とよく似た
$ \displaystyle \displaystyle \sum_{n=0}^{N-1} n^{[2]} = \frac{1}{3} N^{[3]} $
が出てくる。添字を見れば分かるように$N$項の和だが、$n=0$から足していかないと都合が悪い。
