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となる。もしここで

$ \left\{ \begin{array}{lcr}\cos(\frac{\pi}{2} +\beta) & = & -\sin\beta \\\sin(\frac{\pi}{2} +\beta) & = & \cos\beta \end{array} \right. $ ……(4)

が分かれば、$\vec{f_{2}}$ は

$ \vec{f_{2}} = -\sin\beta \vec{e_{1}} + \cos\beta \vec{e_{2}} $ ……(5)

と書き直すことができる。

【証明】
加法定理を証明するには、$\alpha+\beta$ の回転を考えればいいのだから、$\vec{f_{1}}$ を基準にして測った角が $\alpha$ である単位ベクトル

$ \vec{v} = \cos\alpha \vec{f_{1}} + \sin\alpha \vec{f_{2}} $ ……(6)

を考えればよい。
　　　
このベクトルは、$\vec{e_{1}}$ を基準にして測った角が $\alpha+\beta$ なので $\vec{u}(\alpha+\beta)$ であるから、(2)より

$ \vec{v} = \cos(\alpha+\beta)\vec{e_{1}}+(\alpha+\beta)\vec{e_{2}} $

でもある。一方、(6)に (3), (5) を代入すれば

$ \vec{v} = \cos\alpha (\cos\beta \vec{e_{1}} + \sin\beta \vec{e_{2}}) \mbox{　　}+ \sin\alpha (-\sin\beta \vec{e_{1}} + \cos\beta \vec{e_{2}}) $
$ = (\cos\alpha \cos\beta-\sin\alpha \sin\beta)\vec{e_{1}} \mbox{　　}+(\cos\alpha \sin\beta+\sin\alpha\cos\beta) \vec{e_{2}} $

となるから、基本ベクトルの係数を比較して

$ \cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta, $
$ \sin(\alpha+\beta) = \cos\alpha \sin\beta + \sin\alpha\cos\beta $

が導かれる。

【証明の補足】
前節の方法による証明法において、ネックになるところは (4) だ。もちろんこの等式を加法定理を使って示すことはできない。それをすれば加法定理を使って加法定理を証明することになり、循環論法になるからである。
　　　
では (4) をどうやって証明するか。教科書にはよく上図の左側が載っているが、ここでは基底を回転移動させているのだから、図の右側のように座標軸を回転するのが自然だろう。
$y$軸の正の部分から測って $\beta$ の角のところにベクトルがあるのだから、$y$軸($\vec{e_{2}}$)への正射影が $\cos\beta$ で、$x$軸の負の方向($-\vec{e_{1}}$)への正射影が $\sin\beta$ となって、

$ \cos\beta \vec{e_{2}} + \sin\beta(-\vec{e_{1}}) =-\sin\beta\vec{e_{1}}+ \cos\beta \vec{e_{2}} $

で、基本ベクトルの係数を比較して (4) が証明される。($-\infty < \beta <\infty$ としている。)

§5. 1次変換を使う方法

複素数に代わる方法に、1次変換がある。

$ \left[ \begin{array}{rr} \cos(\alpha+\beta) & -\sin(\alpha+\beta) \\ \sin(\alpha+\beta) & \cos(\alpha+\beta) \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{rr} \cos\alpha & -\sin\alpha \\ \sin\alpha & \cos\alpha \end{array} \right] \left[ \begin{array}{rr} \cos\beta & -\sin\beta \\ \sin\beta & \cos\beta \end{array} \right] $

を使う方法である。
ただ、現在これは高校の教育課程から外れているので使えない方法である。

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