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§1. わりと分かりやすい方法
§2. エレガントな証明
§3. 複素数を使う方法
§4. ベクトルを使った証明
§5. 1次変換を使う方法
加法定理の証明法をいくつか紹介しよう。
やや厳密性に難はあるが、分かりやすい証明を最初に紹介しよう。
次図を描いて、証明する。
図から
$ \cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta, $
$ \sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha sin \beta $
が出てくる。
あるいは、少し省略した下図を使って、証明することにしてもよい。
単位円周上に回転角（偏角） $\alpha$ と $-\beta$ の2つの動点があるとする。
すなわち座標が
$ \begin{array}{lcll}A(\cos \alpha & ,& \sin\alpha &), \\B(\cos (-\beta)& ,& \sin(-\beta)&) \end{array} $
である2点である。
この2点をともに $\beta$ だけ回転すれば、それぞれ
$ \begin{array}{lcll}A'(\cos (\alpha+\beta) & , & \sin(\alpha+\beta) &) ,\\ B'(\cos 0 & , & \sin0 &) \end{array} $
という点に移る。
回転移動しても長さは変わらないから、2点間の距離の2乗は等しくて、
$ A'B'^{2} = AB^{2} $
である。したがって、
$ \{\cos (\alpha+\beta)-1\}^{2}+ \sin^{2}(\alpha+\beta) = (\cos \alpha-\cos \beta)^{2}+ (\sin\alpha+\sin\beta)^{2} $
から
$ 2-\cos(\alpha+\beta) = 2-2(\cos \alpha\cos \beta-\sin\alpha\sin\beta) $
となって、
$ \cos(\alpha+\beta) = \cos \alpha\cos \beta-\sin\alpha\sin\beta $
が出る。
加法定理の他の公式は、$\beta$ の代わりに $-\beta$ を代入したり、
$ \sin(\alpha+\beta)= \cos(\frac{\pi}{2}-\alpha-\beta) $
を使って、芋づる式に導き出す。
一見、回転の合成を使っていないように見え(実際には使っている)、しかも距離の公式(三平方の定理)しか使わない証明であり、見事である。かつてどこかの大学入試問題に出ていたものである。
計算が楽なのは複素数を使って
$ \cos(\alpha+\beta) +i \sin(\alpha+\beta) = (\cos\alpha +i \sin\alpha )(\cos\beta +i \sin\beta ) $
で証明する方法である。
複素数は大変便利であり、例えば3倍角の公式を忘れたときは
$ \cos 3 \alpha +i \sin 3\alpha =(\cos\alpha +i \sin\alpha )^{3} $
の右辺を展開して、
$ \cos 3\alpha= \cos^{3}\alpha-3\cos\alpha\sin^{2}\alpha $
$= - 3\cos\alpha + 4\cos^{3}\alpha ,$
$ \sin 3\alpha= 3\cos^{2}\alpha\sin\alpha - \sin^{3}\alpha $
$= 3\sin\alpha - 4\sin^{3}\alpha $
とやればよい。
【準備】正射影の1次結合に分解
そもそもサイン・コサインとは、半径1の円の円周上の点の座標であった。つまり、$x$軸の正の部分から左回りに測った角が $\theta$ の単位ベクトル
$\vec{u}(\theta)$ の、$x$軸および$y$軸への正射影の(有向的な)長さがそれぞれ $\cos \theta$, $\sin
\theta$ であった。
上図の左側のように描くと、第1象限だけしか通用しない話のように見えてしまうが、実際には他の象限(例えば第2象限なら上図右側)に行っても大丈夫で、$-\infty
< \theta <\infty$ としてよい。なぜなら、正射影の長さを負にもなりうるようにしているからである。よって、
$ \vec{u}(\theta) = \cos\theta \vec{e_{1}} + \sin\theta \vec{e_{2}} \label{eqn:m_302} $ ……(2)
ただし $\vec{e_{1}}=\left[ \begin{array}{r}1 \\0\end{array} \right], \vec{e_{2}}= \left[ \begin{array}{r}0 \\1\end{array} \right] $
と、単位ベクトル $\vec{u}(\theta)$ を両座標軸、すなわち基本ベクトル $\vec{e_{1}},\vec{e_{2}}$ 方向への正射影の1次結合で表現できる。
実は、基本ベクトルでなくても2次元平面の基底をなす($=$1次独立な)1組のベクトル $\vec{f_{1}},\vec{f_{2}}$ であればいいのである。
いま、$\vec{e_{1}},\vec{e_{2}}$ をそれぞれ角 $\beta$ だけ回転してできるベクトルを $\vec{f_{1}},\vec{f_{2}}$
としよう。
(2)より
$ \vec{f_{1}} = \cos\beta \vec{e_{1}} + \sin\beta \vec{e_{2}} $ ……(3)
および
$ \vec{f_{2}} = \cos(\frac{\pi}{2} +\beta) \vec{e_{1}} + \sin(\frac{\pi}{2} +\beta) \vec{e_{2}} $