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あぶら算と不定方程式

§1. 塵劫記の問題

§2. 不定方程式を解けばよい

§3. 1組の解とそれに対応する具体的方略

§4. 幾何学的解法

§5. 別解

§∞. 注

§１．塵劫記の問題

江戸時代の和算書「塵劫記」(注[1])に『あぶら算の事』という項目がある。問題を少し言い換えれば

（問) １０升(＝1斗) から３升マスと７升マスを使って、５升を測り取れ。
(塵劫記の挿絵)

となる。（１０升と限定せず、あぶらは無尽蔵にあるとしてもよい。）

§２．不定方程式を解けばよい

（解）　この問題は、

3 x + 7 y = 5 　……　（１）

という不定方程式の整数解を求めることに帰着する。3 と 7 は互いに素だから
　　　3 x + 7 y = 1
は解を持ち、それは目の子ですぐに見つかり、例えば
　　　x = -2, y = 1
である。これを 5倍すれば（１）の特殊解
　　　x = -10, y = 5　 ……　（２）
が求まる。これを（１）に代入して
　　　3 ・(-10) + 7 ・5 = 5
だが、これを（１）から辺々引けば
　　　3 (x +10) + 7 (y - 5) = 0
だから、一般解

x = -10 + 7k, y = 5 - 3k　……　（３）

が得られる。

§３．1組の解とそれに対応する具体的方略

（解１）ここで、例えば k = 1 とすれば

x = -3, y = 2 ……　（４）

という、（１）を満たす１組の解が得られるが、この値って何だろう？

実はこれが、油の測り取り方の具体的方略を示しているのである。今の場合、y が正であるのでこれは油を貯蔵庫からマスに
　　　汲み出してくる回数
を意味し、負数であるｘはマスから貯蔵庫へ
　　　戻す回数
を意味している。

では、（４）に対応する具体的方略を示そう。
　(1) 貯蔵庫から7升マスへ汲み出す。だから (A, B) = (0, 7) これが「汲み出し」1回目。
　(2) 7升マスのあぶらを3升マスへ移動し、 (A, B) = (3, 4)
　(3) 3升マスのあぶらを貯蔵庫へ戻す。 (A, B) = (0, 4) これが「戻し」1回目。
　(4) 7升マスのあぶらを3升マスへ移動して、 (A, B) = (3, 1)
　(5) 3升マスのあぶらを貯蔵庫へ戻す。 (A, B) = (0, 1) 「戻し」2回目。
　(6) 7升マスのあぶらを3升マスへ移動し、 (A, B) = (1, 0)
　(7) 貯蔵庫から7升マスへ汲み出して (A, B) = (1, 7) 「汲み出し」2回目(汲み出しはもうおしまい)。
　(8) 7升マスのあぶらを3升マスへ移動し、 (A, B) = (3, 5) （まだ終わりではない。このままだと3升マスのあぶらの料金を請求されるので…）
　(9) 最後に、3升マスのあぶらを貯蔵庫へ戻す。 (A, B) = (0, 5) 「戻し」3回目で完了。

(※) ここまでの説明では、銀林浩著「初等整数論入門」（ちくま学芸文庫、2015）p.78の問題とその解答を参考にさせてもらいました。

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