2次関数のグラフ--簡単な描き方

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§1. 中学形

§2. 標準形

§3. 一般形

§4. 因数分解形

2次関数の式は、3タイプ、もしくは4タイプある。タイプ別に描き方を紹介しよう。

§1. 中学形

中学で習った2次関数(2乗に比例する関数という)は
　　　$y=ax^{2}$
だが、正比例関数$y=ax$に$b$だけ下駄を履かせて1次関数$y=ax+b$ができるように、2乗に比例する関数に下駄を履かせれば($y$軸方向に$b$だけ平行移動すれば)
　　　$y=ax^{2}+b$
という中学に毛が生えたような関数ができる。これを中学形と呼んでおこう。

【例題1】 $y=-x^{2}+2$のグラフを描け。---

$x=-h,0,h$を代入して、$y$を求めて表を作る。ふつう$h$は$1$でよいが、$a$の係数が分数のときは$h$を$2$や$3$などにする。

§2. 標準形

基本形$y=ax^{2}$のグラフをどのように平行移動したかがすぐに分かるように表記したものが
　　　$y=a(x-p)^{2}+q$
という標準形である。カッコの中を0とおいて、$x-p=0 \Rightarrow x=p$が頂点の$x$座標である。

【例題2】 $y=2(x-1)^{2}-1$のグラフを描け。---

$x=0$、頂点の$x=1$およびその2倍の$x=2$を表に記す。$y$は代入計算で求まるが、必ず両サイドの$y$座標は等しくなる。

§3. 一般形

標準形を展開し、計算すれば一般形
　　　$y=ax^{2}+bx+c$
ができる。これの頂点の$x$座標は
　　　$x=\frac{-b}{2a}$
となる。この公式は数学�Tの教科書なら、どの本にも載っている。この公式は2次方程式の解の公式で、$\pm \sqrt{b^{2}-4ac}$の部分がなくなったものだから、覚えるのは簡単だ。(頂点の$y$座標も教科書に出ているが、こちらは覚えづらいので覚えない。)

【例題3】 $y=-2x^{2}+8x-5$のグラフを描け。---

$x=\frac{-b}{2a}=\frac{-8}{-4}=2$でそれを表の1行目、真ん中に書く。
頂点の$y$座標は組立除法で計算する。(直接代入計算するより、速くて計算間違いが格段に少なくなる。やったことのない人は是非試して欲しい。)

グラフは下図の通り。

§4. 因数分解形

ここまでは、どの数�Tの教科書にも出ているが、そのほかに因数分解形が載っている教科書もある。

【例題4】 $y=(1+2x)(5-2x)$のグラフを描け。---

$y=0$とおいて、方程式
　　　$(1+2x)(5-2x)=0$
を解いて、
　　　$x=-\frac{1}{2},\frac{5}{2}$
頂点の$x$座標はこれの真ん中(中点＝平均)だから
　　　$(-\frac{1}{2}+\frac{5}{2}) \div 2=\frac{2}{2}=1$

グラフは下図の通り。