(本稿は、グラフの平行移動を物理と結び付けて説明しようとすると、結構難しくなる--というお話です。)
【斜面の運動と座標変換】
斜面を球が転がり落ちる、というひとつの現象があったとする。この物理現象そのものが、時刻 $T$ に対し位置 $S$ を対応させる一つの関数であると言ってよい。
$S=f(T) \cdots (1)$
(図1)これに対し２人の観測者がいて、Ａ氏が自分の時計 $x$ と物指 $y$ で測定したら
$y=ax^{2} \cdots (2)$
となったとする。これを、Ｂ氏の時計 $X$ と物指 $Y$ で測る（時計は $p$ 秒だけ進んでいて、物指は $q$ メートルだけ高い所から測るとする）と
(図2)$X=x+p, Y=y+q$
となるので、この座標変換の式を
$x=X-p, y=Y-q$
と変形してから (2) に代入すれば
$Y=a(X-p)^{2} +q \cdots (3)$
となる。
これで "$-p$" と "$+q$" の符号がこのようになることが納得できる。
Ａ氏とＢ氏とでは使っている座標系が違うことを強調するため、変数も違えた方が分かりやすいと考え、一方は小文字、他方は大文字で表わした。
区別しなくてもよいのなら、すべて小文字にして構わない。
(2)と(3)は、実数 $\mathbb{R}$ から $\mathbb{R}$ への関数と見ると、式が全く違うことからして異なる関数と言える。
しかし、両方とも同じ関数(1)を表現したものだから、表現方法が異なるだけで同じ関数であるとも言える。実際
$x=X-p, y=Y-q$
という座標変換によって(2)と(3)は互いに移りあえるのだから、これら2つの関数は同じものと言ってもよいだろう。
（蛇足1） 上記の説明で使われた事実は、物理学の世界ではガリレオの相対性原理と呼ばれている。
慣性系 (観測系が互いに相対的に静止しているか、等速直線運動をしている) ならどっちの座標系で観測しても同じ物理法則が成り立つ--というものである。
ただしニュートン力学では成り立つ原理ではあるが、電磁気学では成り立たなかったりするし、特殊相対性理論でも観測系に依存して時間が遅れたり、長さが短くなってしまう。
【座標軸の移動で説明】
上に述べたことをヒントにグラフの平行移動を説明しよう。
(図3)関数
$y=ax^{2} \cdots (4)$
のグラフがあったとする。
これに対し、新しい座標軸を$X$軸、$Y$軸に設定するのだが、$X$ は $x$ より $p$ だけ手前から測りたいから
「 $X$ 軸を横方向に $p$ だけ平行移動したものが $x$ 軸になる」
ように、$Y$ は $y$ より $q$ だけ長めに測りたいから
「 $Y$ 軸を縦方向に $q$ だけ平行移動したものが $y$ 軸になる」
ようにする。さすれば図3を参照して
$X=x+p, Y=y+q$
すなわち
$x=X-p, y=Y-q$
が座標変換の式となる。
したがって新座標（大文字）で放物線の方程式(4)を書き直すと
$Y-q=a(X-p)^{2}$
すなわち
$Y=a(X-p)^{2} +q \cdots (5)$
となる。
座標軸を平行移動することは、相対的に見ればグラフ を平行移動することと同じである。
だから、(4）を $x$ 軸方向に $p$, $y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動したグラフの方程式は($X,Y$を小文字に変えて)
$y=a(x-p)^{2} +q \cdots (5')$
になる。
上記の説明は、グラフの移動を考えるのに実際には座標軸の方を移動していて、邪道とも言える気がする。そこで別の説明法がないか考えてみる。
【２つの運動と関数】
先に挙げた斜面の運動は、１つの現象を２人の観測者が見た場合のものであった。
次に、１人の観測者(時計と物指は１組しか持っていない)が見た２つの現象を考える。