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輪ゴムギターで和音を創る(対数尺)
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輪ゴムギターというのは、上図のように輪ゴム2本をピック(写真の中の三角形)で爪弾くものである。
輪ゴムが2本あるので、和音(二和音)が創れる。
美しい音色の和音を創りたい。どう指で弦を押さえればよいだろうか。
【ユニゾン】
2本の弦とも開放弦にして、同時に2本をピッキングすると、同じ音程の2音が鳴る。これをユニゾンという。確かに音の響きがよい。
もしここで弦の長さが少しでも違うと「うなり」が生じて、嫌な音(不協和音)になる。
【オクターブ】
弦長＝１：２としてみよう。
このとき、 周波数は２：１(逆比)になる。周波数の比の値＝$\frac{2}{1} =2$
これが１オクターブの関係。この2音を同時に聴くと、2音がすごくなじむ。
実は、例えばドの音を演奏すると、倍音成分（1オクターブ、2オクターブ、…、だけ高いドの音）が含まれている。だから人はオクターブ違いの２音を聞いても１音が鳴っていると勘違いするくらい。
【整数比を探せ】
弦長が整数比だと、気持ちのいい音(協和音)ができる。
１：２だとオクターブで同じ音と言ってもよいから、１：１から１：２の間で、簡単な整数比を探すこととしよう。
（問題）
自然数の比$a:b$で、$\frac{1}{2} < \frac{a}{b} < 1$となるものを求めよ。
(解)
$b=3$なら、$a=2$,
$b=4$なら、$a=3$,
$b=5$なら、$a=3,4$,
……
である。
順序対で表わすと
$(a,b)=(2,3),(3,4),(3,5),(4,5), \cdots $■
【完全5度】
$(a,b)=(2,3)$なら、弦長＝2：3, 周波数3：2, 周波数比の値＝$\frac{3}{2}=1.5$
この音程を「完全５度」と言う。この音程をつなげていけば気持ちのいい音階ができる。
そこで周波数比の$\frac{3}{2}$の累乗：
$\frac{3}{2}, (\frac{3}{2})^{2}, (\frac{3}{2})^{3}, \cdots $
を計算して、オクターブ、すなわち 2 の累乗になるものを探す。
Excelで計算すると
となって、近似値ではあるが$ (\frac{3}{2})^{12}=128=2^{7} $と分かる。
12回、完全５度をつなげていけば、ちょうどオクターブ上がって音階ができる。
だから、１オクターブは半音12個に分割されるのだ。
ピアノの鍵盤を見れば、白鍵７個と黒鍵５個の合わせて12個のキーがあることが分かる。