$\lim a^n/n!$ の求め方

§1. $\infty$に発散する数列

§2. 発散スピードの比較

§1. $\infty$に発散する数列

数列の極限と言うと、有限確定値に収束するものが注目されがちだが、$\infty$ に発散する数列にも重要なものがある。

• $\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty} n^k=\infty (k>0)$ (ベキ関数)
• $\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty} a^n=\infty (a>1)$ (指数関数)
• $\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty} n!=\infty$ (階乗関数)

しかしこれら 3つの数列について、$\infty$ に発散するスピード、大きくなるスピードに格差がある。
下に行くほど大きくなるスピードが速くなる。

§2. 発散スピードの比較

$\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{a^n}{n^k}=\infty$ ($a>1,k>0$)

上式の証明は、別のページ「$\lim x \log x$の求め方」に記載したので、そちらを参照されたい。

2番目と 3番目の比較に移ろう。

$\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{n!}{a^n}=\infty$ ($a>1$)

が成り立つのであるが、それを証明する。

$\frac{n!}{a^n}=\frac{1}{a} \cdot \frac{2}{a} \cdots \frac{n-1}{a} \cdot \frac{n}{a}$
ここで $n>a$ なる整数 $n$ を 1つとってそれを $n_{0}>a$ とする。しからば、$n=n_{0}+N,N>0$ について
$\frac{n!}{a^n}=\frac{n_{0}!}{a^{n_{0}}} \cdot \frac{n_{0}+1}{a} \cdots \frac{n_{0}+2}{a} \cdot \frac{n_{0}+3}{a}\cdots \frac{n_{0}+N}{a}$
$>\frac{n_{0}!}{a^{n_{0}}} \cdot \frac{n_{0}}{a} \cdots \frac{n_{0}}{a} \cdot \frac{n_{0}}{a}\cdots \frac{n_{0}}{a}$
$=\frac{n_{0}!}{a^{n_{0}}} \cdot (\frac{n_{0}}{a})^N \rightarrow \infty$ ■

証明の最後で、公比 $\frac{n_{0}}{a}>1$ の等比数列の極限の知識を使った。