$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1$ ……(1)
が言えればよい。なぜならこれを使えば
$(\sin x)' = \displaystyle \lim_{\Delta\rightarrow 0}\frac{\sin(x+\Delta x)-\sin x}{\Delta x}$
$=\displaystyle \lim \frac{\sin x \cos \Delta x+ \cos x \sin \Delta x - \sin x}{\Delta x}$
$=\displaystyle \lim \{ \sin x \frac{\cos^{2} \Delta x -1}{\Delta x(\cos \Delta x+1)} +\cos x \frac{\sin \Delta x}{\Delta x} \}$
$=\displaystyle \lim \{ -\sin x (\frac{\sin \Delta x}{\Delta x})^2\frac{\Delta x}{\cos \Delta x+1} +\cos x \frac{\sin \Delta x}{\Delta x} \}$
$=-\sin x \cdot 1^2 \cdot \frac{0}{2}+\cos x\cdot1$
$=\cos x$
となるからである。
さて、(1)の証明を、ある教科書では次のように書いている。
問題は不等式の真ん中の辺、すなわち扇形の面積だ。なぜこのようになるのかについて、この教科書では次の図で説明している。
扇形は円の一部だから、円の面積($\pi r^2$)に、中心角($\theta$)の全円($2\pi$)に対する割合を掛けて求められる。
では、円の面積($\pi r^2$)はどうやって求めたのかを振り返ってみよう。
(1)が意味するのは、$x$ が 0 に近ければ $\sin x=x$ ということ、すなわち $\sin dx = dx$ である。中心角が小さな(中心角＝$\Delta x$)扇形 OAB (初めの図参照)は、底辺 OA が 1 で高さ BH が $\sin dx = dx$ の三角形 OAB で近似できる。したがって半径が 1 の円の面積$S$は
$S=\int_{0}^{2 \pi} \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot dx =\frac{1}{2} \int_{0}^{2 \pi} dx=\pi$
であり、半径が $r$ なら面積比は 2乗になるから $\pi r^2$ であることが導かれる。
してみると、この教科書の記述は循環論法である。(1)が成り立つのは円の面積が$\pi r^{2}$だからであり、円の面積がそのようになるのは(1)が成り立つからだ。
円の面積を別の方法で求めてみようか。
$S=4 \int_{0}^{1} \sqrt{1-x^{2}} dx $
$=4 \int_{0}^{\pi/2} \cos^{2} \theta d\theta$ ($x=\sin \theta$ と置換)
$=2 \int_{0}^{\pi/2} (1+\cos 2\theta)d\theta $
$= 2[\theta+\frac{1}{2}\sin 2\theta]_{0}^{\pi/2} $
$=\pi$
となる。ここで、$(\sin x)'=\cos x$ という微分の公式を使っているが、この公式は(1)から導かれるのであるから、こう考えるとやはり循環論法になっていることが分かる。