上記乗積表より
$t_{2}^2+ (t_{4}-t_{2})^2$
$=\{(\zeta+\frac{1}{\zeta})+(\zeta^{2}+\frac{1}{\zeta^{2}})+(\zeta^{3}+\frac{1}{\zeta^{3}})+(\zeta^{4}+\frac{1}{\zeta^{4}})+(\zeta^{5}+\frac{1}{\zeta^{5}})+(\zeta^{6}+\frac{1}{\zeta^{6}})+(\zeta^{7}+\frac{1}{\zeta^{7}})+(\zeta^{8}+\frac{1}{\zeta^{8}})\}$
$\mbox{ }+\{(\zeta^{3}+\frac{1}{\zeta^{3}})+(\zeta^{5}+\frac{1}{\zeta^{5}})+(\zeta^{6}+\frac{1}{\zeta^{6}})+(\zeta^{7}+\frac{1}{\zeta^{7}})\}+8$
$=-1+(-1-t_{8})+8$
【答】 $t_{4}^2-t_{8}t_{4}+\frac{1}{2} (t_{8}^2+t_{8}-6)=0$ … (3.2)
$t_{4}$ についての 2次方程式 (3.2) から解の公式で、解は有理数と $t_{8}$ に四則演算とルートを施して、求めることができる。その解を
$t_{4}$ とするなら
$t_{4}=\frac{-1+\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}}}{4}=2.049481$
次の置き換えは
$t_{2}=\zeta+\frac{1}{\zeta}$ … (3.3)
である。
【問題3.2】 (3.3) の置き換えをしたとき、$t_{2},t_{4},t_{8}$ の間に成り立つ等式を求めよ。---
【ヒント】 $t_{2}^2, (t_{4}-t_{2})^2$ を計算し、(2.2) と合わせて考えよ。
$t_{2}^2+ (t_{4}-t_{2})^2=(\zeta^2+\frac{1}{\zeta^2})+(\zeta^{8}+\frac{1}{\zeta^{8}})+4$
$=t_{8}-t_{2}-(t_{4}-t_{2})+4$
【答】 $t_{2}^2-t_{4}t_{2}+\frac{1}{2}(t_{4}^2+t_{4}-4-t_{8})=0$ … (3.4)
$t_{2}$ についての 2次方程式 (3.4) の解は、有理数と $t_{8},t_{4}$ に四則演算とルートを施して、求めることができる。その解を
$t_{2}$ とするなら
$t_{2}=\frac{1}{8}(-1+\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}}+\sqrt{68+12\sqrt{17}-(6+2\sqrt{17})\sqrt{34-2\sqrt{17}}}$
$=1.864944$
