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§1. 高校生にも解けそう
§2. 相反方程式
§3. さらなる置き換え
§4. cos 2π/17 が求まった
天才数学者ガウスは高校生のときに正17角形の作図法を考えついたと言われる。いくら天才と言え高校生のときなのだから、現代の高校生でも（ヒントがあれば）解けるかもしれないであろう。
そこでヒントを出していくので、作図問題を解いてみてください。
【注】 ガウスが開発した方法はガウスの著書『整数論』に書かれているが、それを要約したものを「正17角形の作図」に記した。本稿ではそれとは若干異なる方法を紹介する。
複素数平面上の単位円に内接する正17角形を描いたとしよう。ただし、$1$ を頂点の 1つとする。
各頂点は
$x=\cos\frac{2k\pi}{17}+i \sin\frac{2k\pi}{17}(k=1,2,\cdots,17)$
であり、17次方程式 $x^{17}=1$ を満たす。
移項して因数分解すれば、
$(x-1)(x^{16}+x^{15}+x^{14}+\cdots +x+1)=0$
だが、$x \neq 1$ ならば
$x^{16}+x^{15}+x^{14}+\cdots +x+1=0$
ここで、$\zeta=\cos\frac{2\pi}{17}+i \sin\frac{2\pi}{17}$ とおいて、これを代入すれば
$\zeta^{16}+\zeta^{15}+\zeta^{14}+\cdots +\zeta+1=0$ … (1.1)
となる。この 16次方程式が（$\sin,\cos$ など使わずに） 有理数と四則演算とルートだけで解ければ、作図ができる。(→「作図可能な線分の長さ」のページ参照。)
(1.1) のような係数が左右対称の方程式は相反方程式と言われる。その解き方は真ん中の $\zeta^8$ で割って
$\zeta^{8}+\zeta^{7}+\cdots+1+\cdots +\frac{1}{\zeta^7}+\frac{1}{\zeta^8}=0$
とし、項の順序を変えて
$(\zeta^8+\frac{1}{\zeta^8})+(\zeta^{7}+\frac{1}{\zeta^{7}})+\cdots +(\zeta+\frac{1}{\zeta})+1=0$ … (2.1)
とした後、
$t=\zeta+\frac{1}{\zeta}$
と置き換えるのが定石だ。ところがそうすると、$t$ の 8次方程式になって、しかも相反でなくなるので解けなくなってしまう。
そこで置き換え方を変えてやる。新たな置き換え方は
$t_{8}=(\zeta+\frac{1}{\zeta})+(\zeta^{2}+\frac{1}{\zeta^{2}})+(\zeta^{4}+\frac{1}{\zeta^{4}})+(\zeta^{8}+\frac{1}{\zeta^{8}})$ … (2.2)
である。(下添え字の $8$ は項が $8$ 個あることを示す。）
【問題2.1】 (2.1) において、(2.2) の置き換えをすると $t_{8}$ についての 2次方程式ができる。その方程式を求めよ。---
【ヒント】 $t_{8}^2$ を計算し、(2.1) と合わせて考えよ。
上図のような乗積表を作ると、
$t_{8}^{2}=3(\zeta+\frac{1}{\zeta})+3(\zeta^{2}+\frac{1}{\zeta^{2}})+4(\zeta^{3}+\frac{1}{\zeta^{3}})+3(\zeta^{4}+\frac{1}{\zeta^{4}})+4(\zeta^{5}+\frac{1}{\zeta^{5}})+4(\zeta^{6}+\frac{1}{\zeta^{6}})+4(\zeta^{7}+\frac{1}{\zeta^{7}})+3(\zeta^{8}+\frac{1}{\zeta^{8}})+8$
$=3\{(\zeta+\frac{1}{\zeta})+(\zeta^{2}+\frac{1}{\zeta^{2}})+(\zeta^{3}+\frac{1}{\zeta^{3}})+(\zeta^{4}+\frac{1}{\zeta^{4}})+(\zeta^{5}+\frac{1}{\zeta^{5}})+(\zeta^{6}+\frac{1}{\zeta^{6}})+(\zeta^{7}+\frac{1}{\zeta^{7}})+(\zeta^{8}+\frac{1}{\zeta^{8}})\}$
$\mbox{ }+\{(\zeta^{3}+\frac{1}{\zeta^{3}})+(\zeta^{5}+\frac{1}{\zeta^{5}})+(\zeta^{6}+\frac{1}{\zeta^{6}})+(\zeta^{7}+\frac{1}{\zeta^{7}})\}+8$
$=3\times (-1)+(-1-t_{8})+8$
【答】 $t_{8}^2+t_{8}-4=0$ … (2.3)
2次方程式は解の公式で解ける。
複号のどちらを採用するかの問題があるのだが、それは保留する。解（の候補）が複数出ても、それで作図してうまくいかないものを除去すれば、残った候補で正17角形が作図できる。実際問題としては、複号問題は些細な問題だ。
2次方程式 $t_{8}^2+t_{8}-4=0$ の解を（同じ記号のまま） $t_{8}$ とする。すなわち
$t_{8}=\frac{-1+\sqrt{17}}{2}=1.561553$
さらに置き換えを行う。
$t_{4}=(\zeta+\frac{1}{\zeta})+(\zeta^4+\frac{1}{\zeta^4})$ … (3.1)
と置き換えるのである。
【問題3.1】 (3.1) のように置き換えたとき、$t_{4}$ と $t_{8}$ の間に成り立つ等式を求めよ。---
【ヒント】 $t_{4}^2, (t_{8}-t_{4})^2$ を計算し、両者の和を求める。それと (2.1), (2.2) と合わせて考えよ。
