中点連結定理より、小さな正五角形の1辺の長さは、元の正五角形の対角線の半分である。1辺 1の正五角形の対角線の長さを $x$ とすれば、面積比は相似比の2乗だから
$\frac{S_{2}}{S_{1}}=\frac{(x/2)^2}{1^2} =\frac{x^2}{4}$
あとは $x$ の値を求めよう。
$\triangle ABE$ と $\triangle FBA$ は相似だから、
$AB:BE=FB:BA \Rightarrow 1:x=x-1:1$
よって、2次方程式
$x(x-1)=1,x>0$
を解いて
$x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$
したがって
$\frac{S_{2}}{S_{1}}=(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^2/4=\frac{3+\sqrt{5}}{8}$ ……(答)
