PQ と SR の交点を T とする。メネラウスの定理から
$\frac{AP}{PB} \cdot \frac{BQ}{QC} \cdot \frac{CT}{AT}=1$
$\frac{CR}{RD} \cdot \frac{DS}{SA} \cdot \frac{AT}{CT}=1$
辺々を掛け合わせればよい。 ■
【問題6】 トレミーの定理：円に内接する四角形 $ABCD$ について、$AB \cdot CD+BC \cdot AD=AC \cdot BD$ を証明せよ。---
【証明】 $\angle BAE=\angle CAD$ となるように、点 $E$ を $BD$ 上にとる。
円周角は等しいので $\angle ABE=\angle ACD$ だから、$\triangle BAE$ と $\triangle CAD$
は相似になる。よって
$AB:BE=AC:CD$
$AB \cdot CD=AC \cdot BE$
同様に、$\triangle CBA$ と $\triangle DEA$ も相似だから
$BC:AC=ED:AD$
$BC \cdot AD=AC \cdot ED$
2つの等式より
$AB \cdot CD+BC \cdot AD=AC \cdot BE + AC \cdot ED=AC \cdot (BE+ED)=AC
\cdot BD$ ■
【問題7】 正三角形 $ABC$ の内部の点 $P$ について、$AP＝3,BP＝4,CP＝5$ のとき、%\triangle ABC$ の面積を求めよ。--- 
【解】 
上図のように、$AB,BC,CA$ を境に折り返す。$\angle P_{2}AP_{3}, \angle P_{3}BP_{1}, \angle
P_{1}CP_{2}$ はいずれも $120^\circ$ である。3つの三角形の面積は
$\triangle P_{2}AP_{3}=\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 \sin 120^\circ=\frac{9\sqrt{3}}{4}$
$\triangle P_{3}BP_{1}=\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 \sin 120^\circ=\frac{16\sqrt{3}}{4}$
$\triangle P_{1}CP_{2}=\frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 5 \sin 120^\circ=\frac{25\sqrt{3}}{4}$
次に余弦定理を使って、次の3辺の長さを求める。
$P_{2}P_{3}^2= 3^2+3^2-2 \cdot 3 \cdot 3 \cos 120^\circ=27 \Rightarrow
P_{2}P_{3}=3\sqrt{3}$
$P_{3}P_{1}^2= 4^2+4^2-2 \cdot 4 \cdot 4 \cos 120^\circ=48 \Rightarrow
P_{2}P_{3}=4\sqrt{3}$
$P_{1}P_{2}^2= 5^2+5^2-2 \cdot 5 \cdot 5 \cos 120^\circ=75 \Rightarrow
P_{2}P_{3}=5\sqrt{3}$
ヘロンの公式で、$s=6\sqrt{3}$ に留意して
$\triangle P_{1}P_{2}P_{3}=\sqrt{ 6\sqrt{3} \cdot 3\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3}
\cdot \sqrt{3} }=18$
これで4つの三角形の面積が計算できたが、それを合計すると $\triangle ABC$ の2倍である。したがって、面積の合計を2で割って
$\triangle ABC=\frac{1}{2}(\frac{9\sqrt{3}}{4}+\frac{16\sqrt{3}}{4}+\frac{25\sqrt{3}}{4}+18)$
$=\frac{1}{2}(\frac{25\sqrt{3}}{2}+18)=\frac{36+25\sqrt{3}}{4}$ ……(答)
【問題8】 1辺の長さが1の正五角形 $P$ の外接円の面積を $S_{1}$, 内接円の面積を $S_{2}$ とするとき、$S_{2}/S_{1}$
を求めよ。---
【解】 内接円と正五角形の接点5個を結んで、小さな正五角形を作る。（下図赤色）