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§1. はじめに
§2. 漸化式を作る
§3. 4〜7次元球
(1) ゲルファント著『やさしい数学入門 座標法』(ちくま学芸文庫,2016)
の188ページに、4 次元球、5 次元球、6 次元球、7 次元球の体積がそれぞれ
$V_{4}(R) = \frac{\pi^{2}R^{4} }{2}$
$V_{5}(R) =\frac{8 \pi^{2}R^{5} }{15}$
$V_{6}(R) =\frac{\pi^{3}R^{6} }{6}$
$V_{7}(R) =\frac{16 \pi^{3}R^{7} }{105}$
であると書かれているが、導き方が書かれていない。
そこで、体積の求め方をここに記す。
このとき、1つ次元が低い球の体積 $V_{n-1}(\cdot)$ を既知として求める。
底面が半径 $ \sqrt{ x_{2}^{2} + \cdots + x_{n}^{2} } = \sqrt{ R^{2}-x_{1}^{2}} $ の $n-1$ 次元球で、である。
高さが $d x_{1}$
$V_{n-1}\left({\sqrt{R^{2}-x_{1}^{2} } }\right) dx_{1}$だから、これを積分すればよい。
$ V_{n}(R) = 2 \int_{0}^{R} V_{n-1}\left(\sqrt{ R^{2} - x_{1}^{2} }\right) dx_{1} $これが漸化式だ。
$ V_{4}(R) = 2 \int_{0}^{R} V_{3}\left(\sqrt{ R^{2} - x_{1}^{2} }\right) dx_{1} $に適用すると
$ V_{4}(R) = 2 \int_{0}^{R} \frac{4\pi}{3}\left(\sqrt{R^{2}-x_{1}^{2}}\right)^{3}dx_{1} $ここで置換積分する。$x_{1} = R \sin \theta$ とおけば $dx_{1} = R \cos \theta d \theta$ だから
$V_{4}(R)$(4) 最後のところで、ある有名な公式を使う。それが
$=2\int_{0}^{R}\frac{4\pi}{3} R^{3}(1- \sin^{2} \theta)^{3/2} \cdot R\cos \theta d\theta $
$=2\int_{0}^{R}\frac{4\pi}{3} R^{4} \cos ^{4} \theta d\theta $
$I_{n} = \int_{0}^{\pi/2} \cos^{n}\theta d\theta $ のときである。$ I_{4} = \frac{3}{16} \pi$ だから
$I_{1}=1, I_{2} = \frac{\pi}{4}, I_{n} = \frac{n-1}{n}I_{n-2}$
$ V_{4}(R) = \frac{\pi^{2}}{2} R^{4}$(5) 5次元球の体積
$ V_{5}(R) $(6) 6次元球の体積
$= 2 \int_{0}^{R} \frac{\pi^{2} }{2}\left(\sqrt{R^{2}-x_{1}^{2}}\right)^{4}dx_{1} $
$=2\int_{0}^{R}\frac{\pi^{2} }{2} R^{4}(1- \sin^{2} \theta)^{2} \cdot R\cos \theta d\theta $
$=2\int_{0}^{R}\frac{\pi^{2}}{2} R^{5} \cos ^{5} \theta d\theta $
$ = \pi^{2} R^{5} I_{5} $
$ =\pi^{2} R^{5} \frac{8}{15} $
$ = \frac{8\pi^{2}} {15} R^{5}$
$ V_{6}(R) $(7) 7次元球の体積
$= 2 \int_{0}^{R} \frac{8\pi^{2} }{15}\left(\sqrt{R^{2}-x_{1}^{2}}\right)^{5}dx_{1} $
$=2\int_{0}^{R}\frac{8\pi^{2} }{15} R^{5}(1- \sin^{2} \theta)^{5/2} \cdot R\cos \theta d\theta $
$=2\int_{0}^{R}\frac{8\pi^{2}}{15} R^{6} \cos ^{6} \theta d\theta $
$ = \frac{16\pi^{2}}{15} R^{6} I_{6} $
$ =\pi^{2} R^{6} \frac{5\pi}{32} $
$ = \frac{\pi^{3} R^{6} } {6}$
$ V_{7}(R) $
$= 2 \int_{0}^{R} \frac{\pi^{3} }{6}\left(\sqrt{R^{2}-x_{1}^{2}}\right)^{6}dx_{1} $
$=2\int_{0}^{R}\frac{\pi^{3} }{6} R^{6}(1- \sin^{2} \theta)^{3} \cdot R\cos \theta d\theta $
$=2\int_{0}^{R}\frac{\pi^{3}}{6} R^{7} \cos ^{7} \theta d\theta $
$ = \frac{\pi^{3}}{3} R^{7} I_{7} $
$ =\frac{\pi^{3}}{3} R^{7} \frac{16}{35} $
$ = \frac{16\pi^{3}} {105} R^{7}$
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