n次元球の体積

§1. はじめに

§2. 漸化式を作る

§3. 4～7次元球

§1. はじめに

(1) ゲルファント著『やさしい数学入門　座標法』(ちくま学芸文庫,2016)

の188ページに、4 次元球、5 次元球、6 次元球、7 次元球の体積がそれぞれ

$V_{4}(R) = \frac{\pi^{2}R^{4} }{2}$
$V_{5}(R) =\frac{8 \pi^{2}R^{5} }{15}$　
$V_{6}(R) =\frac{\pi^{3}R^{6} }{6}$
$V_{7}(R) =\frac{16 \pi^{3}R^{7} }{105}$

であると書かれているが、導き方が書かれていない。
そこで、体積の求め方をここに記す。

§2. 漸化式を作る

(2) 半径 $R$ の $n$ 次元球 $ x_{1}^{2} + \cdots +x_{n}^{2} \leq R^{2}$ の体積 $V_{n}(R)$ を求める。

このとき、1つ次元が低い球の体積 $V_{n-1}(\cdot)$ を既知として求める。
球を $x_{1}$ 軸に垂直な $n-1$ 次元超平面で細かく輪切りにすると、スライス円柱ができる。
その円柱は

底面が半径 $ \sqrt{ x_{2}^{2} + \cdots + x_{n}^{2} } = \sqrt{ R^{2}-x_{1}^{2}} $ の $n-1$ 次元球で、
高さが $d x_{1}$

である。
したがってスライス円柱の $n$ 次元体積は、

$V_{n-1}\left({\sqrt{R^{2}-x_{1}^{2} } }\right) dx_{1}$

だから、これを積分すればよい。

$ V_{n}(R) = 2 \int_{0}^{R} V_{n-1}\left(\sqrt{ R^{2} - x_{1}^{2} }\right) dx_{1} $

これが漸化式だ。

§3. 4～7次元球

(3) 4次元球の体積を求める。$ V_{3}(R) = \frac{4\pi}{3} R^{3}$　を

$ V_{4}(R) = 2 \int_{0}^{R} V_{3}\left(\sqrt{ R^{2} - x_{1}^{2} }\right) dx_{1} $

に適用すると

$ V_{4}(R) = 2 \int_{0}^{R} \frac{4\pi}{3}\left(\sqrt{R^{2}-x_{1}^{2}}\right)^{3}dx_{1} $

ここで置換積分する。$x_{1} = R \sin \theta$ とおけば $dx_{1} = R \cos \theta d \theta$ だから

$V_{4}(R)$
$=2\int_{0}^{R}\frac{4\pi}{3} R^{3}(1- \sin^{2} \theta)^{3/2} \cdot R\cos \theta d\theta $
$=2\int_{0}^{R}\frac{4\pi}{3} R^{4} \cos ^{4} \theta d\theta $

(4) 最後のところで、ある有名な公式を使う。それが

$I_{n} = \int_{0}^{\pi/2} \cos^{n}\theta d\theta $ のとき
$I_{1}=1, I_{2} = \frac{\pi}{4}, I_{n} = \frac{n-1}{n}I_{n-2}$

である。$ I_{4} = \frac{3}{16} \pi$ だから

$ V_{4}(R) = \frac{\pi^{2}}{2} R^{4}$

(5) 5次元球の体積

$ V_{5}(R) $
$= 2 \int_{0}^{R} \frac{\pi^{2} }{2}\left(\sqrt{R^{2}-x_{1}^{2}}\right)^{4}dx_{1} $
$=2\int_{0}^{R}\frac{\pi^{2} }{2} R^{4}(1- \sin^{2} \theta)^{2} \cdot R\cos \theta d\theta $
$=2\int_{0}^{R}\frac{\pi^{2}}{2} R^{5} \cos ^{5} \theta d\theta $
$ = \pi^{2} R^{5} I_{5} $
$ =\pi^{2} R^{5} \frac{8}{15} $
$ = \frac{8\pi^{2}} {15} R^{5}$

(6) 6次元球の体積

$ V_{6}(R) $
$= 2 \int_{0}^{R} \frac{8\pi^{2} }{15}\left(\sqrt{R^{2}-x_{1}^{2}}\right)^{5}dx_{1} $
$=2\int_{0}^{R}\frac{8\pi^{2} }{15} R^{5}(1- \sin^{2} \theta)^{5/2} \cdot R\cos \theta d\theta $
$=2\int_{0}^{R}\frac{8\pi^{2}}{15} R^{6} \cos ^{6} \theta d\theta $
$ = \frac{16\pi^{2}}{15} R^{6} I_{6} $
$ =\pi^{2} R^{6} \frac{5\pi}{32} $
$ = \frac{\pi^{3} R^{6} } {6}$

(7) 7次元球の体積

$ V_{7}(R) $
$= 2 \int_{0}^{R} \frac{\pi^{3} }{6}\left(\sqrt{R^{2}-x_{1}^{2}}\right)^{6}dx_{1} $
$=2\int_{0}^{R}\frac{\pi^{3} }{6} R^{6}(1- \sin^{2} \theta)^{3} \cdot R\cos \theta d\theta $
$=2\int_{0}^{R}\frac{\pi^{3}}{6} R^{7} \cos ^{7} \theta d\theta $
$ = \frac{\pi^{3}}{3} R^{7} I_{7} $
$ =\frac{\pi^{3}}{3} R^{7} \frac{16}{35} $
$ = \frac{16\pi^{3}} {105} R^{7}$

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