罹患率を p としました。 (ア)〜(エ)の確率は積の法則で求まります。
さて、@とAの確率 P は
$P =\frac{ \mbox{(ア)}}{\mbox{(ア + ウ)}} =\frac{0.99p}{0.99p +0.02(1-p)}
=\frac{0.99p}{0.97p +0.02}$
で出ます。
@ $p=0.5$ を代入して $P = 0.980198 \doteq 98\%$
A $p=0.003$ を代入して $P = 0.129638 \doteq 13\%$
B これはAの余事象ですから $100\% -13\% = 87\%$
【問題3.4】 袋の中に$ 1,2,\cdots,11$ が1つずつ書かれたカードが計11 枚入っている。この袋の中から同時に2枚のカードを取り出す。取り出
した2枚のカードに書かれた数の和について、偶数となる事象を $A$ , 9 の倍数となる事象を $B$ とする。
( 1 ) 取り出した2枚のカードに書かれた数が 1 と 11 である確率を求めよ 。
( 2 ) $A$ が起こる確率を求めよ 。
( 3 ) $B$ が起こる確率を求めよ。また$A$ が起こったときの$B$ が起こる条件付き確率 を求めよ 。---
【解】 (1) $\frac{1}{ _{11}C_{2}} =\frac{ 1}{55}$ ……(答)
(2) 奇数になるのは、奇と偶が出るときだから
$(6×5)/55= 6/11$
余事象なので
$P(A) = 1 - 6/11 = 5/11$ ……(答)
(3) $P(B)$は
(1,8),(2,7),(3,6),(4,5),(5,4),(6,3),(7,2),(8,1),(7,11),(8,10),(10,8),(11,7)
となればよいから
$P(B) = 12/55$ ……(答)
後半は
$P_{A}(B) = P(A∩B)/P(A)$
より、
$P(A∩B)$
が
(7,11),(8,10),(10,8),(11,7)
に該当するから
$P(A∩B) = 4/55$
よって
$P(A∩B)/P(A) = 4/55 ÷ 5/11 = 4/25$ ……(答)
【問題3.5】 AチームとBチームのサッカーの試合において、じゃんけんで勝った方を先攻とし、あいこの場合はAチームを先攻と決めた。このとき、3回の試合の先攻を決める場合にあいこが1度も起きず、Bチームが少なくとも一度は先攻になる確率を求めよ。---
【解】 3回連続、あいこ(1/3)が起きないのは
$(1-1/3)^3 = (2/3)^3$
この中にはBが一度も先攻になれない(=3回ともA先攻の)確率
$(1/3)^3$
が含まれているので、それを引く。
$8/27 - 1/27=7/27$ ……(答)
【問題3.6】 次のようなマークシートがあります
回答1 a b c
回答2 a b c
回答3 a b c
回答4 a b c
回答5 a b c
回答6 a b c
(1) aを4つ、bを2つ、cを塗らないマークシートの塗り方は何通りですか？
(2) 回答1のマークシートの塗り方は何通りか。/また、マークシート全ての塗り方は全部で何通りか。/また、cだけ塗らないようにするマークシートの塗り方は何通りか。
(3) 回答1つに対してマークシートのa,b,cのいずれかを確率3分の1で適当にぬる。このとき回答1から回答6のマークシートにおいてa,b,cをそれぞれ1つ以上塗る確率はいくつか？ /また、a,b,cをそれぞれ2つずつ塗る確率はいくつか？---
【解】 (1) a a b a a b
のように並べればいいです。
$\frac{6!}{4!2!} = 15$ 通り ……(答)
(2-1) 回答1のマークシートの塗り方は何通りか？
a か b か c の 3通り ……(答)
(2-2) マークシート全ての塗り方は
$3×3×3×3×3×3 = 3^{6} = 729$ 通り……(答)
(2-3) cだけ塗らないようにするマークシートの塗り方は何通りか。
$2×2×2×2×2×2 = 2^{6} = 64$ 通り……(答)
(3-1) タイプを3つに分けて考える。
【タイプ1】 abc aaa (4個+1個+1個型)
a,b,cのうちどれを4個にするかで3通り、並べ方が6!/(4!1!1!)=30通りなので
$3×30×(1/3)^{6} =\frac{90}{729}$
【タイプ2】 abc aab (3個+2個+1個型)
a,b,cのうちどれを3個にし、どれを2個にするかで3×2=6通り、並べ方が6!/(3!2!1!)=60通りなので
$6×60×(1/3)^{6} =\frac{360}{729}$
【タイプ3】 abc abc (2個+2個+2個型)
並べ方が6!/(2!2!2!)=90通りなので
$90×(1/3)^{6} =\frac{90}{729}$
☆タイプ1〜3を合計して
$\frac{90+360+90}{729} = \frac{540}{729} = \frac{20}{27}$……(答)
(3-2) 上記のうちの【タイプ3】だから
$\frac{90}{729} = \frac{10}{81}$……(答)
【問題3.7】 じゃんけんを3人でして、負けたものから順に抜けていき、最後に残った1人を優勝者とする。あいこも一回と数えるとき、次の確率を求めよ。
(1) 1回目で優勝者が決まる確率
(2) 1回目終了後に2人残ってる確率
(3) ちょうど3回目で優勝者が決まる確率 ---
【解】(1) 1回目にA君が出した手より弱い手(その確率は $1/3$)をB君、C君の2人が出せばよいから
$\frac{1}{3} \times \frac{1}{3} =\frac{1}{9}$
優勝者は3通りあるから、3倍して求めるべき確率は、
$\frac{1}{9} \times 3 =\frac{1}{3}$ ……(答)
(2) 1回目にA君が出した手より強い手をB君、C君の2人が出せばよいから……。
なんだ、前問と弱と強が入れ替わっただけだから、答は同じで
$\frac{1}{3}$ ……(答)
ついでに1回目にあいこになる確率は余事象で
$1-\frac{1}{3}-\frac{1}{3}=\frac{1}{3}$
(3)ちょうど3回目で優勝者が決まる場合を場合分けすると
@ あいこ→あいこ→1人勝ち
$\frac{1}{3} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{3}=\frac{1}{27}$
A あいこ→1人負け→2人中1人勝ち
$\frac{1}{3} \times \frac{1}{3} \times (\frac{1}{3} \times 2) =\frac{2}{27}$
B 1人負け→2人であいこ→2人で1人勝ち
$\frac{1}{3} \times (1-\frac{2}{3} ) \times \frac{2}{3} =\frac{2}{27}$
@〜Bを合計して求めるべき確率は、
$\frac{1}{27}+\frac{2}{27}+\frac{2}{27}=\frac{5}{27}$ ……(答)
【問題3.8】 A, B, C, D, E, F の 6チームがあり、それぞれのチームは他のチームと 1試合ずつ試合を行う。各試合において、両チームの勝つ確率はどちらも $1/2$ で、引き分けはないものとする。
(1) 5戦全勝のチームが現れる確率を求めよ。
(2) 6チームの勝ち数がすべて異なる確率を求めよ。
(3) 4勝1敗のチームがちょうど3チーム現れる確率を求めよ。---
【解】 (1) 全部で $_{6}C_{2} = 15$ 試合行なわれます。(のべ勝ち数は 15チームである。) だから、試合結果は $2^{15}$
通りで、これが分母になる。
あるチーム(選び方が 6通り)が 5勝します。残り10試合はどうでもいいから、$2^{10}$ 通り。
$\frac{6 \times 2^{10}}{2^{15}} = \frac{3}{16}$ ……(答)
(2) どこが 5勝するかが 6通り、
残り 5チームのどこが 4勝するかが 5通り、
残り 4チームのどこが 3勝するかが 4通り、
残り 3チームのどこか 2勝するかが 3通り、
残り 2チームのどっちが 1勝するかが 2通り。(残った1チームは全敗。)
$\frac{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2}{2^{15}} = \frac{45}{2048}$ ……(答)
(3) どの 3チームが 4勝するかで $_{6}C_{3}=20$ 通り。この3チームを甲, 乙, 丙としよう。この3チームが相互に計3試合を闘うが、この3試合でのべ勝ち数＝3が発生する。
のべ勝ち数＝3を3チームで分け合うのだが、
（甲, 乙, 丙）＝(2勝,1勝,0勝) → 丙が4勝1敗にならないから、ありえない
（甲, 乙, 丙）＝(1勝,1勝,1勝) → いわゆる三すくみである（グー>チョキ>パー）
三すくみは甲>乙>丙 と 甲<乙<丙 の2種類がある。
甲, 乙, 丙以外の残り3チームは、(2勝,1勝,0勝)に分かれる(3!=6通り)か、三すくみ(2通りある)のどちらかだから、
$\frac{20\times 2 \times (6+2)}{2^{15}} = \frac{5}{512}$ ……(答)
【問題3.9】 スペードA.J.Q.KとハートのJ.Q.Kが書かれたトランプのカードが1枚ずつある。
(1) この7枚を無作為に横一列に並べる並べ方は全部でいくつか？
(2) 左端がAである確率はいくらか？ /また左端がスペードである確率はいくらか？
(3) スペードとハートが交互で並ぶ確率はいくらか？
(4) 3枚のハートが連続して並ぶ確率はいくらか？ /どの2枚のハートも隣合わない確率はいくらか？
(5) .スペードのKとハートのKが隣あう確率はいくらか？ /スペードのKとハートのKの間に2枚以上のカードがある確率はいくらか？---
【解】
(1) 7枚を横一列に並べる時並べ方
7! = 5040 通り……(答)
(2-1) 左端がAである確率
□●●●●●●
で、□に7枚中の1枚のエースが来るのだから
1/7……(答)
(2-2) 左端がスペードである確率
□●●●●●●
で、□に7枚中の4枚のスペードが来るのだから
4/7……(答)
(3) スペードとハートが交互で並ぶ確率
まずスペード4枚を
●●●●
のように並べておく。
この隙間に
｜●｜●｜●｜●｜
のようにハートが入っていく。
1枚目のハートが所定の場所に入る確率は 3/5
2枚目のハートは
｜●｜●｜?｜●｜●｜
のように6ヵ所の隙間のうち、2ヵ所に入れるから 2/6
3枚目のハートは
｜●｜●｜?｜●｜?｜●｜
のように7ヵ所の隙間のうち、1ヵ所にしか入れないから 1/7
あとは積の法則で
$\frac{3}{5} \times \frac{2}{6} \times \frac{1}{7} = \frac{1}{35}$……(答)
(4-1) 3枚のハートが連続して並ぶ確率
初めにスペード4枚とハートのＪの計5枚を
● ? ●●●
のように並べておく。
この隙間に
｜●｜ ? ｜●｜●｜●｜
のように残りのハートが入っていく。
ハートのＱは6ヵ所の隙間のうち2ヵ所に入れるから 2/6
続いて、ハートのＫは
｜●｜ ? ｜ ? ｜●｜●｜●｜
7ヵ所の隙間のうち3ヵ所に入れるから 3/7
積の法則により、
$\frac{2}{6} \times \frac{3}{7} = \frac{1}{7}$ ……(答)
(4-2) どの2枚のハートも隣合わない確率
初めにスペード4枚を
●●●●
のように並べておく。
この隙間に
｜●｜●｜●｜●｜
ハート3枚が入っていく。
1枚目のハートは5ヵ所の隙間のうち5ヵ所に入れるから 5/5
｜●｜●｜ ? ｜●｜●｜
2枚目のハートは6ヵ所の隙間のうち4ヵ所に入れるから 4/6
｜●｜●｜ ? ｜●｜ ? ｜●｜
3枚目のハートは7ヵ所の隙間のうち7-4=3ヵ所に入れるから 3/7
あとは積の法則で
$\frac{5}{5} \times \frac{4}{6} \times \frac{3}{7} =\frac{ 2}{7}$……(答)
(5-1) スペードのKとハートのKが隣りあう確率
初めにハートのK以外の6枚を並べておく。
｜●｜Ｋ｜●｜●｜●｜●｜
ハートのＫが7ヵ所の隙間のうち2ヵ所に入れるから、2/7……(答)
(5-2) スペードのKとハートのKの間に2枚以上のカードがある確率
これが難しい。3つに場合分けする。初めにハートのK以外の6枚を並べておく。
【ア】スペードのKが端にある場合
｜Ｋ｜●｜●｜●｜●｜●｜
スペードのＫが端に来て(2/6)、
ハートのＫが7ヵ所の隙間のうち4ヵ所に入れるから、
(2/6)×(4/7) = 8/42
【イ】スペードのKが端から2枚目にある場合
｜●｜Ｋ｜●｜●｜●｜●｜
スペードのＫが端から2枚目に来て(2/6)、
ハートのＫが7ヵ所の隙間のうち3ヵ所に入れるから、
(2/6)×(3/7) = 6/42
【ウ】スペードのKが端から3枚目にある場合
｜●｜●｜Ｋ｜●｜●｜●｜
スペードのＫが端から3枚目に来て(2/6)、
ハートのＫが7ヵ所の隙間のうち3ヵ所に入れるから、
(2/6)×(3/7) = 6/42
【ア】〜【ウ】を足し合わせて
$\frac{8}{42}+\frac{6}{42}+\frac{6}{42} = \frac{20}{42} = \frac{10}{21}$……(答)
【問題4.1】 数直線上において、pは原点、qは4のところに位置し、そこを出発点とする。1個のさいころを投げて、
1、2の目が出ればpは＋2、qは?2 移動。
3の目が出ればpは＋1、qは?1 移動。
4、5、6の目が出ればp、qは移動しない。
(1) このとき、さいころを2回投げて、p、qの座標が等しくなる確率を求めよ。
(2) さいころを3回投げたとき、p≧qとなる確率を求めよ。---
【解】 [1] p、qの座標が等しくなる確率だが、
(2歩ずつ歩み寄る)and(動かない) or
(動かない)and(2歩ずつ歩み寄る) or
(1歩ずつ歩み寄る)and(1歩ずつ歩み寄る)
だから
$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{6}
\cdot \frac{1}{6} = \frac{13}{36}$ ……(答)
[2] 3回投げたとき、p≧qとなる確率だが、これの余事象(p<q)は
0歩,0歩,0歩 …… $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$
0歩,0歩,1歩 とこれの並べ替え…… $\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{6} \cdot
3 = \frac{1}{8}$
合わせて 1/4だから、求める確率は
$1 - \frac{1}{4} =\frac{3}{4}$ ……(答)
【問題4.2】 正五角形の頂点を図のようにO,A,B,C,Dとする。
はじめに点PはOにありサイコロを投げ出た目の数だけ反時計回り(O→A→B→C→D)の向きに頂点を移動する。サイコロは最大3回まで投げられ点PがOに達した時、サイコロを投げるのを止めるものとする。
例えばサイコロを投げて出た目が順に1,5,3のとき点PはO→A→A→Dのように移動する。またサイコロを投げ出た目が順に2,3のとき点PはO→B→Oのように移動し点Oに達しているので3回目のサイコロは投げられない。
? 3回までサイコロが投げられた場合で点Pの移動は例えばO→A→A→Oのように示される。このうち最も確率の高いものは何か。それを示しその時の確率を求めよ。
? 2回サイコロを投げたとき、点PはCにあった。この時1回目の移動で点PがBにあった確率を求めよ。---
【解】 1回振ると、0〜5コマ、進みます。その確率は1コマ前進だけ 2/6 で、他は 1/6 です。
3回振ったときの、ある進み方の確率は
□×□×□
のようになります。□に入る数は 2/6 または 1/6 です。
また、□3個の積でなく、1〜2個の積のこともあります(途中、Oで打ち止めした場合)
? の答は、できるだけ大きい数を掛け合わせて
(2/6)×(2/6)×(2/6) = 1/27
経路は
O→A→B→C
? 可能性がゼロでないのは
O→A→C
O→B→C
O→C→C
O→D→C
の4通りで、その確率はそれぞれ
(2/6)×(1/6) = 2/36
(1/6)×(2/6) = 2/36
(1/6)×(1/6) = 1/36
(1/6)×(1/6) = 1/36
で、合計は 6/36 である。したがって、1回目がBにあった(すなわちO→B→Cの)条件付き確率は
$\frac{2/36}{6/36} = 1/3$ ……(答)
【問題4.3】 正五角形 ABCDE があり、点 P は次の規則に従って頂点を動いていく。
(操作) 硬貨とサイコロを 1個ずつ同時に投げる。表が出れば、反時計回りにさいころの目の数だけ頂点を動く。裏が出れば、時計回りにさいころの目の数だけ頂点を動く。
最初 P が A にあるとし、次の確率を求めよ。
(1) 1回目の操作後に P が A にある確率、Bにある確率、Cにある確率。
(2) 2回目の操作後に、P が A にある確率。
(3) 3回目の操作後までに、P が A にある回数が 2回である確率。ただし、最初に P があるのと、動いている間に A を通過するのは認めない。
(4) 3回目の操作後までに P が A にある回数が 2 であるという条件のもとで、2回目の操作後に P が A にあった条件つき確率。 ---
【解】(1) A にある(0°回転の)確率だが、5の目が出ればよいから
$\frac{1}{6}$ ……(答)
Bにある(72°回転の)確率だが、「左回りで 1か 6の目が出る」か「右回りで 4の目が出る」ればよいから
$\frac{1}{2} \times \frac{2}{6} + \frac{1}{2} \times \frac{1}{6} =\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$
……(答)
Cにある(144°回転の)確率だが、「左回りで 2の目が出る」か「右回りで 3の目が出る」ればよいから
$\frac{1}{2} \times \frac{1}{6} + \frac{1}{2} \times \frac{1}{6} =\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$
……(答)
【検算】 全事象の確率を求めると
$\frac{1}{6} + \frac{1}{4} \times 2 +\frac{1}{6} \times 2=1$
【解】(2) 次の(ア), (イ), (ウ)を足せばよい。
(ア) A→A→A、すなわち (0°回転) が2回
$\frac{1}{6} \times \frac{1}{6}=\frac{1}{36}$
(イ) A→B(E)→A、すなわち (72°回転) と (-72°回転)が起きる、ただし順序は逆でもよい
$\frac{1}{4} \times \frac{1}{4} \times 2=\frac{1}{8}$
(ウ) A→C(D)→A、すなわち (144°回転) と (-144°回転)が起きる、ただし順序は逆でもよい
$\frac{1}{6} \times \frac{1}{6} \times 2=\frac{1}{18}$
結局
$\frac{1}{36}+\frac{1}{8}+\frac{1}{18} = \frac{5}{24}$ ……(答)
(3) 次の(ア), (イ), (ウ)を足せばよい。
(ア) A→A以外→A→A
A→A以外→Aの確率が、$\frac{5}{24}-\frac{1}{36}=\frac{13}{72}$で
A→Aの確率が、$\frac{1}{6}$だから
$\frac{13}{72} \times \frac{1}{6} =\frac{13}{432}$
(イ) A→A→A以外→A
先と反対で
$\frac{1}{6} \times \frac{13}{72} =\frac{13}{432}$
(ウ) A→A→A→A以外
$\frac{1}{6} \times \frac{1}{6} \times (1-\frac{1}{6})=\frac{5}{216}$
結局
$\frac{13}{432}+\frac{13}{432}+\frac{5}{216} = \frac{1}{12}$ ……(答)
(4) (3)の記法で言えば、この条件付き確率は
$\frac{\mbox{ア+ウ}}{\mbox{ア+イ+ウ}} = \frac{13/432 + 5/216}{1/12}=\frac{23}{36}$
……(答)
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