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【知恵袋から】確率

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§1. サイコロ
§2. 袋の中の玉
§3. 並べる
§4. 乱歩

「YAHOO! 知恵袋」で筆者が回答したものの中から抜粋しました。

§1. サイコロ

【問題1.1】 @10円硬貨1枚と50円硬貨1枚を同時に投げるとき、次の確率を求めよ。
   (1)2枚とも裏が出る確率
   (2)表と裏が1枚ずつ出る確率
A大小2個のサイコロを同時に投げるとき、次の確率を求めよ。
   (1)目の数が9になる確率
   (2)同じ目が出る確率
B赤球3個と白球4個の合計7個が入ってる袋から、同時に2個の球を取り出すとき、2個とも白球である確率を求めよ。また、赤球と白球が1個ずつである確率を求めよ。---


【解】@ (1) (1/2)×(1/2)= 1/4 ……(答)
(2) 表裏と裏表があるので
   (1/2)×(1/2) + (1/2)×(1/2) = 1/2 ……(答)
A(1) 6+3, 5+4, 4+5, 3+6 の4通りだから
   (1/6)×(1/6)×4 = 1/9 ……(答)
(2) 片方は何でもいいから、とにかくある目が出る。もう一方がそれと同じ6個のうちの特定の目が出るのだから、
   1/6 ……(答)
B 2個とも白は
   (4/7)×(3/6) = 2/7 ……(答)
後半は、赤白と白赤だから
   (3/7)×(4/6) + (4/7)×(3/6) = (2/7)×2 = 4/7 ……(答)

【問題1.2】 1から9までの番号札から1枚取り出し、番号を調べてから元に戻す試行を3回繰り返す。取り出した3枚の番号の和が偶数になる確率を求めよ。---

【解】 3枚とも偶数か、1枚だけ偶数だから
   $(\frac{4}{9})^3 + _{3}C_{1}×(\frac{4}{9})×(\frac{5}{9})^2$
   $=\frac{64}{729}+\frac{300}{729}=\frac{364}{729}$ ……(答)

【問題1.3】 2個のさいころを同時に投げるとき、出る目の最小値が3となるか、出る目の最大値が4となる確率を求めよ。---

【解】
   
出る目の最小値が3の確率は図(上)より、7/36
出る目の最大値が4の確率は図(下)より、7/36
   7/36 + 7/36
でいいかと言うと、ダメです。かぶっている部分があります。画像で黒丸で示したところを引かないといけません。
出る目の最小値が3 かつ 出る目の最大値が4 の確率は、2/36 なので、正解は
   7/36 + 7/36 - 2/36 = 12/36 = 1/3 ……(答)

【問題1.4】 3個のさいころを同時に投げるとき、目の積が5の倍数になる確率を求めよ。---

【解】 3数のうち一つ以上5であれば、5の倍数である。すべてが5以外である確率を求めて、1から引けばよい。
   $1-(\frac{5}{6})^3= \frac{91}{216}$ ……(答)

【問題1.5】 さいころを同時に3個ふるとき、さいころの出た目の積が6の倍数になる確率を求めよ。---

【解】余事象を考える方が簡単。
余事象は、「6が出ない」かつ「(2・4と3の両方が出る)ことがない」である。
そして、「(2・4と3の両方が出る)ことがない」は、
   「(2・4が出ない)または(3が出ない)」
だから、1〜5のうち、「ア:2・4が出ない」確率+「イ:3が出ない」確率−「ウ:2・4も3も出ない」確率 を計算すればよい。
(ア) 1,3,5しか出ない確率
   $(\frac{3}{6})^3 = \frac{27}{216}$
(イ) 1,2,4,5しか出ない確率
   $(\frac{4}{6})^3 = \frac{64}{216}$
(ウ) 1,5しか出ない確率
   $(\frac{2}{6})^3 = \frac{8}{216}$
よって、余事象の確率は
   $\frac{64}{216} + \frac{27}{216} -\frac{8}{216} = \frac{83}{216}$
したがって、求める確率は
   $1 - \frac{83}{216} = \frac{133}{216}$ ……(答)

【問題1.6】 1個のサイコロを20回繰り返し投げるとき、偶数の目が12回でる確率は何パーセントか?---

【解】 ベルヌイ試行列とか独立試行の確率と言われています。その確率は
   $_{20}C_{12} ×(1/2)^{12} ×(1/2)^8$
   $= 125970 /(4096 × 256)$
   $=0.1201343$
で、約12%です。……(答)
電卓で計算できますし、二項分布を計算するサイトというのが Internet 上にいっぱいあります。

【問題1.7】 6枚のコインに1から6までの番号を1つずつ付け、初めにすべて表向きにして並べておき、以下の操作を繰り返す。
操作:サイコロを2個投げて、出た目の小さい方から大きい方までのコインを裏返す。ただし、2個のサイコロの目が同じ場合はその番号のコインのみを裏返す。
二回目の操作を終えたときに番号3と番号4のコインのうち、少なくとも一方の向きが表である確率を求めよ。---

   

【解】 「少なくとも一方の向きが表」の余事象=「3, 4ともにウラ」の確率を求めて、1 から引けばよい。
それを求める準備として、次の確率を求めよう。
(1)1回の操作で3が反転し、4が反転しない
大きい方の目が 3で小さい方の目が 3 以下だから、下表(○印)から5通りと分かる。
   
だから、その確率は
   $\frac{5}{36}$
(2)1回の操作で4が反転し、3が反転しない
4は大きい方から3番目だから、大小を逆にして考えれば(1)と同じ(表の×印)。だから、確率は
   $\frac{5}{36}$
(3)1回の操作で3, 4 がともに反転する
小さい目が(1,2,3)で、大きい目が(4,5,6) で、表の△印だから、その確率は
   $\frac{18}{36}=\frac{1}{2}$
(4)1回の操作で3 も 4 も反転しない
(小,大)の目が両方2以下か、5以上 になればよい。表の■印で、その確率は
   $\frac{8}{36}=\frac{2}{9}$
さて、2回の操作で「3, 4ともにウラ」になる場合は、
   (1)→(2)
   (2)→(1)
   (3)→(4)
   (4)→(3)
の4通りがあるから、これらの確率を合算すればよい。これを求めると
   $(\frac{5}{36} \times \frac{5}{36})\times 2+ (\frac{1}{2} \times \frac{2}{9}) \times 2 =\frac{169}{648}$
したがって、求めるべき確率は、1から引いて
   $1- \frac{169}{648}=\frac{479}{648}$ ……(答)

【問題1.8】 1個のサイコロを $n$回続けて振るとき、出る目の数を順に $x_{1},x_{2}, x_{3}, \cdots,x_{n}$ とする。次のそれぞれの確率を求めよ。ただし、$n \geq 3$ とする。
(1) $(x_{1}-3)^2+(x_{2}-3)^2+( x_{3}-3)^2+ \cdots +(x_{n}-3)^2=2$ となる確率。
(2) $(x_{1}-3)^2+(x_{2}-3)^2+( x_{3}-3)^2+ \cdots +(x_{n}-3)^2 \geq 3 $ となる確率。
(3) $(x_{1}-3)(x_{2}-3)( x_{3}-3) \cdots (x_{n}-3)=6$ となる確率。 ---


【解】(1) 平方数を足して $2$ になるのは
   $1^2+1^2+0^2+0^2+0^2+\cdots =2$
の場合しかない。そこで $n$ 回のうちのどこか $2$回で $x_{i}=2,4$ が出て、残りは $x_{j}=3$ が出ればよい。よって
   $_{n}C_{2} (\frac{2}{6})^2 (\frac{1}{6})^{n-2} =\frac{n(n-1)}{2} \cdot \frac{4}{6^{n}} =\frac{2n(n-1)}{6^{n}}$ ……(答)
(2) 余事象は
(ア) $0^2+0^2+0^2+0^2+0^2+\cdots =0$ の場合
すべての回で $x_{i}=3$ が出ればよいから
   $(\frac{1}{6})^n$
(イ) $1^2+0^2+0^2+0^2+0^2+\cdots =1$ の場合
$1$回だけ $x_{i}=2,4$ が出ればよいから
   $_{n}C_{1} (\frac{2}{6}) (\frac{1}{6})^{n-1} =n \cdot \frac{2}{6^{n}} =\frac{2n}{6^{n}}$
(ウ) $1^2+1^2+0^2+0^2+0^2+\cdots =2$ の場合
前問の答、そのものである。
よって、求めるべき確率は
   $1-\{(\frac{1}{6})^n + \frac{2n}{6^{n}} +\frac{2n(n-1)}{6^{n}} \}=\frac{6^n-1-2n^2}{6^n}$ ……(答)
(3) $x_{i}-3 =-2,-1,0,1,2,3$ だから、積が $6$ になるのは
   $3 \times 2 \times (\pm 1) \times (\pm 1) \times \cdots$
か、
   $3 \times (-2) \times (\pm 1) \times (\pm 1) \times \cdots$
のどちらかだ。2つの場合を一緒に扱って解こう。
どこの回で $x_{i}-3=3$ が出るのが$n$通りで、それ以外のどこかの回で $x_{j}-3=\pm 2$ が出るのが $n-1$通りである。そして、$3$ が出る回以外の $n-1$回の中から負数 $x_{k}-3= \pm 1$ が出る回を偶数回選ばねばならない。それが
   $_{n-1}C_{0}+_{n-1}C_{2}+_{n-1}C_{4}+ \cdots =2^{n-2}$
通りある。だから、積が $6$ になる目の出方は
   $n(n-1)2^{n-2}$通り
である。あるいは、下図のように箱を $n$ 個用意しておいて、$3$ と $2$ を1個ずつ入れ、残りの箱にはすべて $1$ を入れ、その後負号を$3$以外の偶数個の箱の中に入れる、と考えてもよい。
   
サイコロの目の出方は全部で $6^n$通りあるから、求めるべき確率は、
   $\frac{ n(n-1)2^{n-2}} {6^n}=\frac{n(n-1)}{4 \cdot 3^n}$ ……(答)
【蛇足】(3)で
   $_{m}C_{0}+_{m}C_{2}+_{m}C_{4}+ \cdots =2^{m-1}$
という公式を使った。この等式は、二項定理:
   $(1+x)^m= _{m}C_{0}+_{m}C_{1}x+_{m}C_{2}x^2+ _{m}C_{3}x^3 + \cdots $
に $x=1,-1$ を代入して
   $ _{m}C_{0}+_{m}C_{1}+_{m}C_{2}+ _{m}C_{3} + \cdots =2^m$
   $ _{m}C_{0}-_{m}C_{1}+_{m}C_{2}- _{m}C_{3} + \cdots =0$
を辺々足して2で割れば出てくる。

【問題1.9】 正二十面体、正八面体のサイコロを振りそこで出た目の数をそれぞれ A, Bとします。このときの $A \times (1.2+B \times 0.1)$ の期待値を求めよ。---

【解】 期待値は
   $\sum (\mbox{出た目の数} \times P_{i})$
だから
   $e=\displaystyle \sum_{a=1}^{20} \displaystyle \sum_{b=1}^{8} a \times (1.2+b \times 0.1) \times \frac{1}{20} \times \frac{1}{8}$
   $=\frac{1}{20} \times \frac{1}{8} \times \displaystyle \sum_{a=1}^{20} a \displaystyle \sum_{b=1}^{8} (1.2+b \times 0.1) $
   $=\frac{1}{160} \displaystyle \sum_{a=1}^{20} a (8 \times 1.2 + 0.1 \times \frac{8(8+1)}{2}) $
   $=\frac{13.2}{160}\displaystyle \sum_{a=1}^{20} a$
   $=\frac{13.2}{160}\times \frac{20(20+1)}{2}$
   $=\frac{13.2}{160}\times 210=17.325$ ……(答)
【別解】 期待値の公式より
   $e=E(A \times (1.2+B \times 0.1))=E(1.2 A+0.1 AB)$
   $=1.2E(A)+0.1E(AB)$
ここで2つの確率変数 $A, B$ は独立だから
   $E(AB)=E(A)E(B)$
が成り立つので
   $e=E(A) (1.2+0.1E(B))$
である。ところで、期待値は真ん中の値が出ることだから
   $E(A)=\frac{1+20}{2}=\frac{21}{2},$
   $E(B)=\frac{1+8}{2}=\frac{9}{2}$
となり、
   $e=\frac{21}{2} (1.2 +0.1 \times \frac{9}{2})$
   $=17.325$ ……(答)
【蛇足】 確率変数 $A,B$ が独立なら
   $E(XY)=E(X)E(Y)$
になります。なぜなら
   $左辺=\displaystyle \sum_{i,j} x_{i} y_{j} P(X=x_{i},Y=y_{j})$
   $=\displaystyle \sum_{i,j} x_{i} y_{j} P(X=x_{i})P(Y=y_{j})$
   $=\displaystyle \sum_{i} x_{i} P(X=x_{i}) \displaystyle \sum_{j} y_{j} P(Y=y_{j})$
   $=E(X)E(Y)$
となるからだ。
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§2. 袋の中の玉

【問題2.1】 5 本のくじがあって、その中に 2 本の当たりくじが入っている。この中から同時に、2 本引いて、2 本とも当たれば、10,000 円もらえる。1 本しか当たらなければ、1,000 円もらえる。 もし、1 本も当たらなければ、5,000 円支払う。このくじの期待値を求めよ。---

【解】
2本当たりの確率$=(2/5)×(1/4) = 2/20 $
1本当たりの確率$=(2/5)×(3/4)×2 = 12/20$
0本当たりの確率$=(3/5)×(2/4) = 6/20$
よって
   $期待値= 1万 \times (2/20) + 千 \times (12/20) - 5000\times (6/20) $
   $= 2000/20 = 100円$ ……(答)

【問題2.2】 赤、青、黄、緑の 4色の玉が 1個ずつ合計 4個入っている袋から、玉を 1個取り出してその色を記録し袋に戻す試行を、繰り返し 4回行う。こうして記録された相異なる色の数を $X$ とするとき、$X$ の値が $k$ である確率 $P_{k}(k=1,2,3,4)$ を求めよ。---

【解】(ア)$k=1$ すなわちすべて同じ色
どの色が出るかで 4通りあるから
   $P_{1}=4 \times (\frac{1}{4})^4 =\frac{4}{256}=\frac{1}{64}$
(イ)$k=2$
●○○○タイプと、●●○○タイプがある。
前者は、色の選び方が $4 \times 3$ 通りで、玉の出る順が $_{4}C_{1}$ 通り。
後者は、色の選び方が $_{4}C_{2}$ 通りで、玉の出る順が $_{4}C_{2}$ 通り。
   $P_{2}=12 \times 4 \times (\frac{1}{4})^4 + 6 \times 6 \times (\frac{1}{4})^4 =\frac{48}{256}+\frac{36}{256}=\frac{84}{256}=\frac{21}{64}$
(ウ)$k=3$
●○△△タイプしかない。
色の選び方が $4 \times _{3}C_{2}$ 通りで、玉の出る順が $\frac{4!}{1!1!2!}$ 通り。
   $P_{3}=12 \times 12 \times (\frac{1}{4})^4 =\frac{144}{256}=\frac{9}{16}$
(エ)$k=4$ すなわち全色出る
異なる4色が出る順が $_{4}P_{4}=4!$ 通りある。
   $P_{4}=24 \times (\frac{1}{4})^4 =\frac{24}{256}=\frac{3}{32}$
【蛇足】検算してみると
   $\frac{4}{256}+ \frac{84}{256} +\frac{144}{256}+\frac{24}{256}=\frac{256}{256}=1$

【問題2.3】 赤玉1個と白玉5個が入ってる箱があります。次の操作を行います。箱から2個の玉を取り出し、取り出した玉のうち赤玉は箱に戻し白玉は箱に戻さない。
1) 操作を1回おこなうとき、赤玉白玉1個ずつ取り出す確率は?

2) 1回目に赤玉、白玉1個ずつ取り出したとき、2回目は赤玉1個、白玉ア個の合計(ア+1)個から2個取り出したことになる。
また1回目に白玉2個取り出したとき2回目は赤玉1個、白玉イ個の合計(イ+1)個から2個取り出したことになる。
ア、イを求めてください。

3) 1回目に白玉2個取り出し、2回目に赤玉1個と白玉1個取り出す確率はいくつか? また、このとき2回の操作の後、箱の中はいくつ玉がはいっているか?

4) 2回目に赤玉1個と白玉1個を取り出す確率は?

5) 操作を2回行った後、箱の中には3個玉がはいっている確率は?---

【解】
1) 操作を1回おこなうとき赤玉白玉1個ずつ取り出す確率
(赤1,白5)→赤白 だから
   $\frac{5}{ _{6}C_{2}} = \frac{1}{3}$ …答

2)(前半) 1回目に赤玉、白玉1個ずつとりだしたとき、
   (赤1,白5)→赤白 ⇒ (赤1,白4)
ア=4 ……答

2)(後半) 1回目に白玉2個取り出したとき
   (赤1,白5)→白白 ⇒ (赤1,白3)
イ=3 ……答

3) 1回目に白玉2個とりだし 「かつ」 2回目に赤玉1個と白玉1個取り出す確率は
   (赤1,白5)→白白 ⇒ (赤1,白3)→赤白
「かつ」だから積の法則で
   $\frac{_{5}C_{2}}{_{ 6}C_{2}} × \frac{_{3}C_{2}}{_{ 4}C_{2}} =\frac{ 1}{3}$
このとき2回の操作の後、箱の中には(赤1,白2)で計3個玉がはいっている。
3個 ……答

4) 2回目に赤玉1個と白玉1個を取り出す確率は
   (赤1,白5)→赤白 ⇒ (赤1,白4)→赤白

   (赤1,白5)→白白 ⇒ (赤1,白3)→赤白 …… 1/3
の確率を足すことになる。
前者は、$\frac{1}{3} × \frac{4}{_{ 5}C_{2}} = \frac{2}{15}$ なので
   2/15 + 1/3 = 7/15 ……答

5) 操作を2回行った後箱の中には3個玉がはいっているということは、玉の合計数は
   6個→5個→3個か、
   6個→4個→3個
の変化しかない。前者は
   (赤1,白5)→赤白 ⇒ (赤1,白4)→白白
で、後者は
   (赤1,白5)→白白 ⇒ (赤1,白3)→赤白 …… 1/3
だ。前者を計算すると
   $\frac{1}{3} × \frac{_{4}C_{2}} {_{5}C_{2}} = \frac{1}{5}$
なので
1/5 + 1/3 = 8/15 ……(答)

【問題2.4】 赤い玉が 5 個、白い玉が 7 個入っている袋の中から、3 個の玉を同時に取り出すものとする。このとき、取り出した玉の中に入っている赤い玉の個数の期待値を求めよ。---

【解】
赤0個の確率 $= _{7}C_{3} /_{ 12}C_{3} = 35/220$
赤1個の確率 $ =_{ 5}C_{1}×_{7}C_{2} /_{ 12}C_{3} = 105/220$
赤2個の確率 $= _{5}C_{2}×_{7}C_{1} /_{ 12}C_{3} = 70/220$
赤3個の確率 $= _{5}C_{3} / _{12}C_{3} = 10/220$
だから
   $0 \times (35/220) + 1 \times ( 105/220) + 2 \times ( 70/220 )+ 3 \times( 10/220)$
   $= 275/220 = 5/4$個 ……(答)

【問題2.5】 袋Xには白玉3個と黒玉2個、袋Yには白玉2個と黒玉3個が入っている。袋Xから2個の玉を取り出して袋Yに入れた後、よくかき混ぜて、袋Yから1個の玉を取り出す。白玉が出たときに、それが初めから袋Yに入っていた玉である確率を求めよ。---

【解】 まず、求めるべき条件付き確率 $P$ は
   $P =P(\mbox{白出る} \cap \mbox{元からの玉}) / P(\mbox{白出る} )$
であることに注意する。XからYへの玉の移動を、白白、白黒、黒黒の3つの場合に分けて考える。
(ア) Xから白白が移る確率は
   $\frac{3}{5} \times \frac{2}{4}=\frac{3}{10}$
   

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