この群が今までと異なるのは、可換でない(交換法則が成り立たない)という点だ。実際、例えば
$\sigma m_{1}:\sqrt[3]{2} \mapsto \sqrt[3]{2} \mapsto \sqrt[3]{2}\omega$,
$m_{1}\sigma :\sqrt[3]{2} \mapsto \sqrt[3]{2}\omega \mapsto \sqrt[3]{2}\omega^2$
となって（詳しくは $\sigma m_{1}=m_{3},m_{1}\sigma =m_{2}$）、同じ数の行き先が異なってしまう。（大学生へのコメント：可換群でないと、部分群は正規部分群になるとは限らない。そして、正規部分群でないと正規拡大にならない。）
可換でないガロア群ができてしまったのだが、その位数(元の個数)は 6個だから、最小方程式も問題 9.4 のような 2次でなくて、6次でなくてはならない。
【問題9.5】 有理数体 $\mathbb Q$ にある 1つの数 $\theta$ を添加してできる体が $\sqrt[3]{2}$ を含んでいて、$\theta$
の最小方程式が 6次であるものを得たい。$\theta$ （原始要素と言う）は求めよ。---
【解】 $\mathbb Q$ の 6次拡大体（それを $K$ と名付ける。）を作る訳だ。$K$ は $\sqrt[3]{2}$ を含むのは当然として、先の共役写像を見て分かるように $\omega$ も含まねばならない。体は加減乗除について閉じているから、$\sqrt[3]{2}+\omega$ も含む。これを $\theta$ としてみよう。最小方程式は
$x=\sqrt[3]{2}+\omega$
$\Rightarrow (x-\omega)^3=2$
$\Rightarrow x^3-3\omega x^2+3\omega^2 x-1=2$
ところで、$\omega^2=-\omega-1$ ( §2参照 )だったから
$x^3-3x^2\omega-3x\omega-3x-3=0$
$\Rightarrow 3x(x+1)\omega=x^3-3x-3$
$\Rightarrow \omega=\frac{x^3-3x-3}{3x(x+1)}$
最後の式を $\omega^2+\omega+1=0$ に代入して
$\frac{(x^3-3x-3)^2}{9x^2(x+1)^2}+\frac{x^3-3x-3}{3x(x+1)}+1=0$
$\Rightarrow (x^3-3x-3)^2+3x(x+1)(x^3-3x-3)+9x^2(x+1)^2=0$
$\Rightarrow (x^6-6x^4-6x^3+9x^2+18x+9)+(3x^5+3x^4-9x^3-18x^2-9x)+(9x^4+18x^3+9x^2)=0$
$\Rightarrow x^6+3x^5+6x^4+3x^3+9x+9=0$ … （答）
【問題9.6】 前問で求めた最小方程式を解け。---
【解】 先の計算を逆に辿ればよい。
$x^6+3x^5+6x^4+3x^3+9x+9=0$,
$\Rightarrow (x^6-6x^4-6x^3+9x^2+18x+9)+(3x^5+3x^4-9x^3-18x^2-9x)+(9x^4+18x^3+9x^2)=0$,
$\Rightarrow (x^3-3x-3)^2+3x(x+1)(x^3-3x-3)+9x^2(x+1)^2=0$
これは $t^2+At+A^2=0 \Leftrightarrow t=\frac{-A\pm i\sqrt{3}{A}}{2}=A\omega,A\omega^2$ のパターンだから
$x^3-3x-3=3\omega x(x+1),3\omega^2x(x+1))$,
$\Rightarrow x^3-3\omega x^2-3(1+\omega)x-3=0; x^3-3\omega^2 x^2-3(1+\omega^2)x-3=0$,
$\Rightarrow x^3-3\omega x^2+3\omega^2 x-3=0; x^3-3\omega^2 x^2+3\omega x-3=0$,
$\Rightarrow (x-\omega)^3+\omega^3-3=0; (x-\omega^2)^3+\omega^6-3=0$,
$\Rightarrow (x-\omega)^3=2; (x-\omega^2)^3=2$,
$\Rightarrow x-\omega=\sqrt[3]{2},\sqrt[3]{2}\omega,\sqrt[3]{2}\omega^2; x-\omega^2=\sqrt[3]{2},\sqrt[3]{2}\omega,\sqrt[3]{2}\omega^2$
$\Rightarrow x=\sqrt[3]{2}+\omega,\sqrt[3]{2}\omega+\omega,\sqrt[3]{2}\omega^2+\omega, \sqrt[3]{2}+\omega^2,\sqrt[3]{2}\omega+\omega^2,\sqrt[3]{2}\omega^2+\omega^2$
結局、6つの解は
$x=\sqrt[3]{2}\omega^i+\omega^j \mbox{ } (i=0,1,2;j=1,2)$ … （答）
原始要素 $\theta=\sqrt[3]{2}+\omega$ を $\sqrt[3]{2}\omega^i+\omega^j$ に移す共役写像を
$\tau(i,j)$ と表すことにしよう。これら 6つの写像は先の表に出てきたどれと一致するのだろうか。表と見比べながら、調べてみよう。
(1) $\tau(0,1)$
これは明らかに恒等写像。
$\tau(0,1)=1$
(2) $\tau(0,2)$
$\sqrt[3]{2}+\omega \mapsto \sqrt[3]{2}+\omega^2$ より
$\sqrt[3]{2}$ は変えずに、$\omega$ と $\omega^2$ を交換するから、
$\tau(0,1)=m_{1}$
(3) $\tau(1,1)$
$\sqrt[3]{2}+\omega \mapsto \sqrt[3]{2}\omega+\omega$ より
$\sqrt[3]{2}$ を120度回転するから、$\sqrt[3]{2}\omega$ なら $\sqrt[3]{2}\omega\times \omega=\sqrt[3]{2}\omega^2$ に移す。
$\tau(0,1)=\sigma$
(4) $\tau(1,2)$
$\sqrt[3]{2}+\omega \mapsto \sqrt[3]{2}\omega+\omega^2$ より
$\sqrt[3]{2}$ の120度回転と、$\omega$ と $\omega^2$ の交換だから、$\sqrt[3]{2}\omega$ なら $\sqrt[3]{2}\omega\times \omega^2=\sqrt[3]{2}$ に移す。よって
$\tau(1,2)=m_{3}$
(5) $\tau(2,1)$
$\sqrt[3]{2}+\omega \mapsto \sqrt[3]{2}\omega^2+\omega$ より
$\sqrt[3]{2}$ を240度回転するから、$\sqrt[3]{2}\omega$ なら $\sqrt[3]{2}\omega^2\times \omega=\sqrt[3]{2}$ に移す。
$\tau(0,1)=\sigma^2$
(6) $\tau(2,2)$
$\sqrt[3]{2}+\omega \mapsto \sqrt[3]{2}\omega^2+\omega^2$ より
$\sqrt[3]{2}$ の240度回転と、$\omega$ と $\omega^2$ の交換だから、$\sqrt[3]{2}\omega$ なら $\sqrt[3]{2}\omega^2\times \omega^2=\sqrt[3]{2}\omega$ に移す。よって
$\tau(1,2)=m_{2}$
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