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根を求めることだけなら、三角関数すら知らなくてもできそうなものだが、目的は体やガロア群の関係である。
原始 $8$ 乗根は、
$k=1, 3, 5, 7(mod.8)$
の $\varphi(8)=8(1-\frac{1}{2})=4$ 個ある。(図中の赤丸)
ここで $\zeta$ の特性方程式 $\phi(x)$ を求めると
$x^8-1=(x^4+1)(x^2+1)(x+1)(x-1)$
より
$\phi(x)=x^4+1=0$
である。
原始$8$乗根
$\zeta,\zeta^3,\zeta^{5},\zeta^7$
の間の置換を考える。体 ${\mathbb Q}(\zeta)/\mathbb Q$ のガロア群は
$G=Gal(\mathbb Q(\zeta)/\mathbb Q)=\{ \sigma_{1}, \sigma_{3}, \sigma_{5},\sigma_{7}
\}$
で、クラインの四元群だから、$G$ の部分群は
$< \sigma_{3}>, < \sigma_{5}>, < \sigma_{7}>$
の3つである。これらに対応する中間体を求めよう。
ア） $< \sigma_{3}>$ は $\zeta+\zeta^3=\sqrt{2} i $ を動かさないから、対応する中間体は
${\mathbb Q}(\sqrt{2} i)$
イ） $< \sigma_{5}>$ は $\zeta^2= i $ を動かさないから、対応する中間体は
${\mathbb Q}( i)$
ウ） $< \sigma_{7}>$ は $\zeta+\zeta^7=\sqrt{2} $ を動かさないから、対応する中間体は
${\mathbb Q}(\sqrt{2} )$
ここで
${\mathbb Q}(\sqrt{2})/ {\mathbb Q} = {\mathbb Q}(\zeta+\frac{1}{\zeta})/
{\mathbb Q}$
の特性方程式を求めよう。$\phi(\zeta)$ を $\zeta^2$ で割った
$\zeta^2+\frac{1}{\zeta^2}=0$
に留意して
$x=\zeta+\frac{1}{\zeta} \Rightarrow x^2=\zeta^2+\frac{1}{\zeta^2} +2=0+2=2$
この2次方程式は簡単に解けて
$x=\zeta+\frac{1}{\zeta} =\sqrt{2}$
よって $\zeta$ の実部と虚部はそれぞれ
$Re(\zeta)=\frac{1}{2} \sqrt{2}$,
$Im(\zeta)=\sqrt{1-(\frac{1}{2} \sqrt{2})^2}=\frac{1}{2} \sqrt{2}$
だから、
$\zeta=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{2} i}{2}$
§5. 1の17乗根
原始 $17$ 乗根は、$k=1, 2, 3, \cdots, 16(mod.17)$ の
$\varphi(11)=17(1-\frac{1}{17})=16$ 個
ある。$\zeta$ の特性方程式は
$\phi(x)=x^{16}+x^{15}+ \cdots +x+1=0$
である。
原始$17$乗根の間のガロア群は
$G=<\sigma_{3}>=\{ \sigma_{3}, \sigma_{9}, \sigma_{10} , \sigma_{13},
\sigma_{5}, \sigma_{15}, \sigma_{11}, \sigma_{16}, \sigma_{14}, \sigma_{8},
\sigma_{7}, \sigma_{4}, \sigma_{12}, \sigma_{2}, \sigma_{6}, \sigma_{1}
\}$
という位数 16 の巡回群だから、その部分群は位数が 8, 4, および 2 の巡回群である。すなわち
$<\sigma_{9}>,<\sigma_{13}>,<\sigma_{16}>$
である。
$< \sigma_{9}>$ が動かさない元は、8項周期
$\eta_{0}=\zeta+\zeta^{2}+\zeta^{4}+\zeta^{8}+\zeta^{9}+\zeta^{13}+\zeta^{15}+\zeta^{16}$,
$< \sigma_{13}>$ が動かさない元は、4項周期
$\xi_{0}=\zeta+\zeta^{4}+\zeta^{13}+\zeta^{16}$,
$< \sigma_{16}>$ が動かさない元は、2項周期
$\lambda=\zeta+\zeta^{16}$
である。
ア) さきの8項周期の共役は
$\sigma_{3}(\eta_{0})=\zeta^3+\zeta^5+\zeta^{6}+\zeta^{7}+\zeta^{10}+\zeta^{11}+\zeta^{12}+\zeta^{14}$
であり、これを $\eta_{1}$ とおく。両者の和・積は
$\eta_{0} + \eta_{1}= \zeta^1+\zeta^2+\cdots +\zeta^{16}=\phi(\zeta)-1=-1$
と、積の方は Excel などを使って
$\eta_{0} \eta_{1}= 4(\zeta^1+\zeta^2+\cdots +\zeta^{16})=-4$
と分かる。よって、8項周期は
$x^2+x-4=0$
の2実根である。しかも円周上に原始17乗根を描けば分かるように $\eta_{0}>\eta_{1}$ だから
$\eta_{0}=\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$
イ) さきの4項周期の共役は(自分自身を除いて) 3つあって
$\xi_{1}=\sigma_{3}(\xi_{0})=\zeta^{3}+\zeta^{5}+\zeta^{12}+\zeta^{14}$,
$\xi_{2}=\sigma_{9}(\xi_{0})=\zeta^{2}+\zeta^{8}+\zeta^{9}+\zeta^{15}$,
$\xi_{3}=\sigma_{10}(\xi_{0})=\zeta^{6}+\zeta^{7}+\zeta^{10}+\zeta^{11}$
である。和・積は次のようになる。
$\xi_{0} + \xi_{2}= \eta_{0}$,
$\xi_{1} + \xi_{3}= \eta_{1}$
であり、
$\xi_{0} \xi_{2}=\zeta^{1}+\zeta^{2}+\cdots +\zeta^{16}=-1$,
$\xi_{1} \xi_{4}=\zeta^{1}+\zeta^{2}+\cdots +\zeta^{16}=-1$
である。よって $\xi_{0},\xi_{2}$ は
$x^2-\eta_{0} x-1=0$,
$\xi_{1},\xi_{3}$ は
$x^2-\eta_{1} x-1=0$
の2実根である。これまた円周上の原始17乗根の図から分かるように
$\xi_{0}>\xi_{2}, \xi_{1}>\xi_{3}$
であるので、
$\xi_{0}=\frac{1}{4}( -1+\sqrt{17}+\sqrt{34-2 \sqrt{17}})$,
$\xi_{1}=\frac{1}{4}( -1-\sqrt{17}+\sqrt{34+2 \sqrt{17}})$,
$\xi_{2}=\frac{1}{4}( -1+\sqrt{17}-\sqrt{34-2 \sqrt{17}})$,
$\xi_{3}=\frac{1}{4}( -1-\sqrt{17}-\sqrt{34+2 \sqrt{17}})$
となる。
ウ) さきの2項周期の共役は(自分自身を除いて) 7つあるのだが、そのうちの1つだけを
$\lambda'=\sigma_{4}(\lambda)=\zeta^{4}+\zeta^{13}$
とおく。和・積は
$\lambda+ \lambda'=\xi_{0}$,
$\lambda \lambda'=\zeta^{3}+\zeta^{5} +\zeta^{12}+\zeta^{14}=\xi_{1}$
だから、$\lambda, \lambda'$ は
$x^2-\xi_{0} x+\xi_{1}=0$
の2実根であり、例の図から $\lambda>\lambda'$ である。解の公式を使うのだが、ルートの中は
$\xi_{0}^2-4 \xi_{1}=(\zeta+\zeta^{4}+\zeta^{13}+\zeta^{16})^2-4 \xi_{1}$
$=4+(\zeta^2+\zeta^{8}+\zeta^{9}+\zeta^{15})+2(\zeta^3+\zeta^{5}+\zeta^{12}+\zeta^{14})-4
\xi_{1}$
$=4-2 \xi_{1}+\xi_{2}$
となることに注意する。よって
$\lambda=\zeta+\bar{\zeta}=\frac{1}{2}(\xi_{0}+\sqrt{4-2 \xi_{1}+\xi_{2}})$
$=\frac{1}{8}(-1+\sqrt{17}+\sqrt{34-2 \sqrt{17}})+\frac{1}{4}\sqrt{17+3\sqrt{17}-2\sqrt{34+2\sqrt{17}}-\sqrt{34-2\sqrt{17}}}$
したがって $\zeta$ の実部と虚部はそれぞれ
$Re(\zeta)=\frac{1}{2} \lambda$,
$Im(\zeta)=\sqrt{1-(\frac{1}{2} \lambda)^2}$
§∞. 文献
[1] ファン・デル・ヴェルデン著、銀林浩訳 「現代代数学」第2巻, 東京図書, 1959年
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