【別解】 所与の等式を辺々引けば $xy=a-b$ (双曲線)だから、これと円 $x^2+y^2=a$ が第1象限で交わればよい。ということは、$a-b>0$
であり、円の半径が双曲線と原点との間の距離以上であればよい。
ところで、双曲線と原点との間の距離は、$y=x$ と双曲線との交点と原点との間の距離に等しい。したがって
$\sqrt{a} \geq \sqrt{2} \times \sqrt{a-b}$
よって
$a \geq 2(a-b)$
$b \geq (1/2)a$
はじめに出した条件と合わせれば
$(1/2)a \leq b <a$
【問題3.1】 $a^3-7a+6=0$を因数分解せよ。---
【解】 因数定理を使います。詳しくは数学Uの教科書を読んでください。
【答】 $(a-1)(a+3)(a-2)=0$ ■
【問題4.1】 $ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$($a,b,c,d$は整数) が有理数解を持つとき
$(ex^{2}+fx+g)(hx+i)=0$
($h,i$は互いに素な整数で$e,f,g$は整数)と変形でき、最初の式と恒等式とできる ということを証明せよ。---
【証明】
【1】$ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$($a,b,c,d$は整数で、$a \neq 0$とします) が有理数解
$x=-\frac{i}{h}$
を持つとします。($h,i$は互いに素な整数とする。) すると左辺は
$x+\frac{ i}{h}$
で割り切れます(因数定理)。 実際に割り算をすると 商は
$a x^{2} + (-a\frac{i}{h} + b)x +(a\frac{i^2}{h^2} -b\frac{i}{h} +c)
$
余りは
$-a\frac{i^3}{h^3} + b\frac{i^2}{h^2} -c\frac{i}{h} + d $
となります。 割り切れるのだから
$-a\frac{i^3}{h^3} + b\frac{i^2}{h^2} -c\frac{i}{h} + d = 0$ …… (*)
となります。そして、所与の3次式は
$(x+ \frac{i}{h})\{a x^2 + (-a\frac{i}{h} + b)x +(a\frac{i^2}{h^2} -b\frac{i}{h}+c)\} $
を変形して
$(hx+ i)\{\frac{a}{h}x^2 + (-a\frac{i}{h^2} + \frac{b}{h})x +(a\frac{i^2}{h^3} -b\frac{i}{h^2} +\frac{c}{h})\} $
となります。 証明すべきことは、{ }の中の係数
(ア) $\frac{a}{h}$
(イ) $-a\frac{i}{h^2} + \frac{b}{h}$
(ウ) $ a\frac{i^2}{h^3} -b\frac{i}{h^2} +\frac{c}{h}$
がすべて整数になることです。
(ア) (*)より
$a\frac{i^{3}}{h^{3}} = b\frac{i^2}{h^2} -c\frac{i}{h} + d$
で、$h^{3}$ 倍して $ai^{3} = (bi^{2} -cih + dh^{2} )h$ 両辺ともに($i$と互いに素の)$h$ で割り切れるので、$a$
は $h$ で割り切れる。
よって $ \frac{a}{h} = a'$ は整数である。
(イ) (*)より
$-a\frac{i^{3}}{h^{3}} + b\frac{i^{2}}{h^{2}} = c\frac{i}{h} - d $
で、$h^{3}$ 倍して $(-ai + bh) i^{2} = (ci - dh) h^{2}$ 両辺ともに($i^{2}$と互いに素の)$h^{2}$
で割り切れるので、$(-ai + bh)$ は $h^{2}$ で割り切れる。
よって $-a\frac{i}{h^{2}} + \frac{b}{h}$ は整数である。
(ウ) (*)より
$a\frac{i^{3}}{h^{3}} - b\frac{i^{2}}{h^{2}} + c\frac{i}{h} = d$ で、$h^{3}$
倍して $(ai^{2} - bhi + ch^{2}) i = d h^{3}$ 両辺ともに($i$と互いに素の)$h^{3}$ で割り切れるので、$(ai^{2}
- bhi + ch^{2})$ は $h^{3}$ で割り切れる。
よって $a\frac{i^{2}}{h^{3}} - b\frac{i}{h^{2} }+ \frac{c}{h}$ は整数である。
【2】$ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$($a=0,b,c,d$は整数で、$b\neq0$とします) すなわち $bx^{2}+cx+d=0$
が有理数解
$x=-\frac{i}{h}$
を持つとします。($h,i$は互いに素な整数とする。) このときどうなるかというと、【1】において $a=0$ とおけば、そのまま今の証明が通用します。
【3】$ax^3+bx^2+cx+d=0$($a=b=0,c,d$は整数で、$c\neq0$とします) すなわち $cx+d=0$ が有理数解
$x=-\frac{i}{h}$
を持つとします。($h,i$は互いに素な整数とする。) このときどうなるかというと、【1】において $a=b=0 $とおけば、そのまま今の証明が通用します。
■
【蛇足】 3次式に限らず、一般に整係数の $n$ 次方程式が有理数の解を持てば、2つの整係数の多項式の積に因数分解される、 という定理(ガウスの補題)が成り立ちます。
【問題5.1】 連続する $7$ つの自然数がある。このうち初めの $4$ つの自然数の二乗の和が残りの $3$ つの自然数の二乗の和に等しくなるという。このような
$7$ つの自然数の組を全て求めよ。--- 
【問題6.1】 1回に750kgの重さまで運ぶことのできるエレベーターがある。このエレベーターで1個50kgの荷物を2人で何個か運びたい。2人の体重の合計が120kgのとき、荷物は1回に何個まで運ぶことができるか。---
【解】 これはSPIの問題です。作成元はリク○ート、当該の就職問題集には「12個」などと解答が出ています。
でも、ホントの正解は、
$750 \div 50 = 15(個)$
その方法：
(1) A君は行先階のボタンを押した後、エレベーターが発車するのを防ぐため、開ボタンを押し続けます。
(2) B君はその間、1人で15個の荷物をエレベーターに載せます。
(3) 荷物を載せたB君は階段を使って行先階へ行きます。(階段は絶対あります。)
(4) 頃合いを見て、A君はエレベーターを発車させます。
(5) 行先階で待っていたB君は、エレベーターが到着したら開ボタンを押し続けて、エレベーターが他の階へ行くことを防ぎます。
(6) 階段で行先階に到着したA君は、1人で荷物を下ろします。
解答はマークシートなので上記のような答案を書くことはできず、明晰な頭脳の就職希望の高校生は不採用にされます。
【問題6.2】 ランナーが $20km$ のうち、最初の $10km$ を $17km/h$, 後の区間を $21km/h$ で走行したときの平均速度を、調和平均で求めよ。---
【解】 前半 $10km$ を走るのに要する時間を $x_{1}$ 時間、後半 $10km$ を走るのに要する時間を $x_{2}$ 時間とすれば
$x_{1}=\frac{10}{17},x_{2}=\frac{10}{21}$
よって、平均速度 $v[km/h]$ は
$v =\frac{20}{x_{1}+x_{2}} $
$= \frac{20}{\frac{10}{17}+\frac{10}{21} }$
$=\frac{2}{\frac{1}{17}+\frac{1}{21} }=\frac{357}{19}$ ……【答】
結局
$\frac{1}{v} = \frac{\frac{1}{17}+\frac{1}{21} }{2}$
となります。$1/v$ は $1/17$ と $1/21$ の平均になっていますが、このとき「$v$ は $17$ と $21$ の調和平均」と言います。
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