【問題7】 複素数平面上の3点 $P_{1}(z_{1}),P_{2}(z_{2}),P_{3}(z_{3})$ が $(z_{2}-z_{1})/(z_{3}-z_{1})=1+\sqrt{3}
i$ を満たすとき、
(1) $\angle P_{2}P_{1}P_{3}$ を求めよ。
(2) $P_{1}P_{2}:P_{1}P_{3}$ を求めよ。---
答え 2:1
【解】所与の複素数を極形式に直して
$1+\sqrt{3} i=2 (\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} )=2(\cos \frac{\pi}{3}
+i \sin \frac{\pi}{3})$
(1) 偏角を考えると
$\angle P_{2}P_{1}P_{3}=\arg(\frac{z_{2}-z_{1}}{z_{3}-z_{1}} )=\frac{\pi}{3}$
……(答)
(2) 絶対値を考えると
$| \frac{z_{2}-z_{1}}{z_{3}-z_{1}} |= 2 \Rightarrow \frac{P_{1}P_{2}}{P_{1}P_{3}}=\frac{2}{1}$
よって
$P_{1}P_{2} : P_{1}P_{3} =2:1$ ……(答)
【問題8】 複素数平面において、$0$ を表す点を O, $-1+\sqrt{3}i$ を表す点を A とする。点 $z$ を直線 OA に関して対称移動した点を
$w$ とするとき、$w$ を $z$ を用いて表せ。---
【解】 $-1+\sqrt{3}i$ の絶対値は $\sqrt{(-1)^2+3}=2$ だから、極形式で表わすと
$-1+\sqrt{3}i = 2 (-\frac{1}{2} +i \frac{\sqrt{3}}{2})$
で、点 A を極座標で表わせば
$(2,\frac{2}{3}\pi)$
である。点 $z$ の極座標を
$z=(r,\theta)$
とし、点 $w$ の極座標
$w=(r,\theta')$
と表わそう。
$\frac{\theta + \theta'}{2}=\frac{2}{3}\pi$
より
$w=(r,\theta')=(r, \frac{4}{3}\pi -\theta)$
ここで、$z$ と $w$ を掛けると、絶対値は積に、偏角は和になるから
$zw=(r,\theta') \times (r,\theta')= (r^2,\frac{4}{3}\pi)=r^2(-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2})$
よって
$w=\frac{|z|^2}{z}(-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2})$ ……(答)
ところで、$|z|^2=z \bar{z}$ だから
$w=-\bar{z}(\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2})$ ……(答)
としてもよい。
【問題9】 (1) $x^5-1 = (x-1)(x^2-2x\cos (2/5)\pi+1)(x^2-2x\cos(4/5)\pi+1)$ が成り立つことを示せ。
(2) $\cos(2/5)\pi, \sin(4/5)\pi$ の値を求めよ。---
【解】(1) $z=r(\cos \theta+i \sin \theta)$ とおくとき、$z^5=1$ ならば絶対値は $1$ で偏角は全円の5等分点と分かるから、解は
$z=\cos \frac{2k\pi}{5}+i \sin\frac{2k\pi}{5}\mbox{ }(k=0,1,2,3,4)$
である。だから
$x^5-1$
$=(x-1)\{ x -(\cos \frac{2}{5}\pi+i \sin\frac{2}{5}\pi)\}\{ x -(\cos
\frac{4}{5}\pi+i \sin\frac{4}{5}\pi)\}$
$\times \{ x -(\cos \frac{6}{5}\pi+i \sin\frac{6}{5}\pi)\}\{ x -(\cos
\frac{8}{5}\pi+i\sin\frac{8}{5}\pi)\}$
と(複素係数の範囲で)因数分解できる。
ところで図を見るとすぐ分かるが、$k=1,4$ に対応する解と $k=2,3$ に対応する解は互いに共役である。よってこの5次式は
$x^5-1$
$=(x-1)\{ x -(\cos \frac{2}{5}\pi+i \sin\frac{2}{5}\pi)\}\{ x -(\cos
\frac{2}{5}\pi-i \sin\frac{2}{5}\pi)\}$
$\times \{ x -(\cos \frac{4}{5}\pi+i \sin\frac{4}{5}\pi)\}\{ x -(\cos
\frac{4}{5}\pi-i \sin\frac{4}{5}\pi)\}$
と書き直せる。複素数の公式として
$z=\cos\theta+i\sin\theta \Rightarrow \bar{z}=\cos\theta-i\sin\theta$
$z+\bar{z}=2\cos\theta$
$z\bar{z}=|z|^2=\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$
があるので、これを適用すると
$x^5-1=(x-1)( x^2 -2x\cos \frac{2}{5}\pi+1)( x^2 -2x\cos \frac{4}{5}\pi+1)$
という、実係数の範囲での因数分解の式になる。これが(1)の解答だ。
(2) 5次式 $x^5-1$ は因数定理と整除法により
$x^5-1=(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)=0$ ……(*)
と因数分解できることはすぐ分かる。これの右辺が(1)で示したように
$(x-1)(x^2-ax+1)(x^2-bx+1)$
となるから、一部を展開して(*)と係数比較すれば
$-a-b=1,1+ab+1=1,-a-b=1 \Rightarrow a+b=-1,ab=-1$
だから $a,b$ は
$t^2+t-1=0$
の2解である。よって
$a,b=\frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$
どっちがどっちかはコサインの正負で分かるので
$\cos \frac{2}{5}\pi=\frac{-1 + \sqrt{5}}{4}$ ……(答)
$\cos \frac{4}{5}\pi=\frac{-1 - \sqrt{5}}{4}$
サインの方は
$\sin \frac{4}{5}\pi=\sqrt{1-(\frac{-1 - \sqrt{5}}{4})^2}=\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}$……(答)
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