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【知恵袋から】複素数
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【問題1】 $a,b$を実数とする。複素数$\alpha＝a+bi$とする。$\alpha$が中心$（-1,1）$,半径2の円の内側と境界線に存在するときの次の値の範囲を求めよ。
【問題2】 複素数平面上において、複素数$z$を表す点が、$|z?1?i|＝2$を満たしながら動くとき次の問いに答えよ。
【問題3】 $\alpha^9=1$かつ$\alpha^3 \neq 1$を満たすすべての複素数$\alpha$と点$1+i$との距離の積を求めよ。---
【問題4】 $z=(1+\alpha i)/(1-\alpha i)(\alpha \neq -i )$において、$z$の絶対値が$1$ならば$\alpha$は実数であることを証明せよ。---
【問題5】 $\alpha=\cos(2/5)\pi+ i \sin(2/5)\pi$ とする。
【問題9】 (1) $x^5-1 = (x-1)(x^2-2x\cos (2/5)\pi+1)(x^2-2x\cos(4/5)\pi+1)$ が成り立つことを示せ。
【問題1】 $a,b$を実数とする。複素数$\alpha＝a+bi$とする。$\alpha$が中心$（-1,1）$,半径2の円の内側と境界線に存在するときの次の値の範囲を求めよ。
(1) $|\alpha+1-i|$
(2) $\beta=\alpha?1+i$とした時の$\beta$の偏角の範囲。---
【解】 $\alpha$が中心$-1+i$, 半径2の円の内側と境界線に存在する。
(１) $|\alpha+1-i| = |\alpha-(-1+i)|$は円の中心からの距離だ。半径2だから
$0 \leq r \leq 2$
(２) $\beta＝\alpha?1+i= \alpha-(1-i)$は円外の点$1-i$ から円板(disc)を見たときの偏角だから
$\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \pi$
なぜなら、$1+i$は円の東端の点ですが、それは真北にあるので偏角90度です。$-1-i$は円の南端の点ですが、それを見れば真西にあるので偏角180度です。
【問題2】 複素数平面上において、複素数$z$を表す点が、$|z?1?i|＝2$を満たしながら動くとき次の問いに答えよ。
（1） $|z＋1|$の最大値、最小値を求めよ。
（2）$w=(1?iz)/(1＋iz)$を満たす$w$はどんな図形を描くか。---
【解】 $|z - (1+i)| = 2$は中心$1+i$, 半径2 の円。(下図)
(1) $|z - (-1)|$は$-1$ からの距離。この点から中心を通って一直線を引けば分かる。
(答) 最大値 $\sqrt{5} +2,$最小値 $\sqrt{5} -2$
(2) $w = (1-iz)/(1+iz)$の分母を払って
$(1+iz)w = 1-iz$
これを$z$について解く。
$i(w+1)z = 1-w$
$(w+1)z = i(w-1)$
$z = i\frac{w-1}{w+1}$
(分母≠0ですので、念のため）
$z$を$|z - (1+i)| = 2$に代入すると
$|\frac{w+1+2i}{w+1}| = 2$ ……(＊)
これはアポロニウスの円です（下図参照）。$-1-2i$ からと $-1$ からの距離の比が$2:1$なので、$-1-(2/3)i$と$-1+2i$を直径の両端とする円となり、これは中心が$-1+(2/3)i$で半径が$4/3$の円です。
これを計算で示しましょう。(＊)の分母を払って2乗すると
$(w+1+2i)(\bar{w}+1-2i)=4(w+1)(\bar{w}+1)$
展開して、変形すれば
$3(w+1-\frac{2}{3}i)(\bar{w}+1+\frac{2}{3}i)=\frac{16}{3}$
よって
$|w+1-\frac{2}{3}i|^2= \frac{16}{9}$
これで中心が$-1+(2/3)i$で半径が$4/3$と分かる。
【問題3】 $\alpha^9=1$かつ$\alpha^3 \neq 1$を満たすすべての複素数$\alpha$と点$1+i$との距離の積を求めよ。---
【解】 $\alpha$は$1$の$9$乗根でかつ、$1$の$3$乗根でないものだから
$\eta = \cos (2\pi/9) +i \sin (2\pi/9)$
とおけば
$\alpha = \eta^{k} =\cos (2k\pi/9) +i \sin (2k\pi/9)(k=1,2,4,5,7,8)$
である。所期の距離の積は$w=1+i$とおけば
$|w-\eta||w-\eta^{2}||w-\eta^{4}||w-\eta^{5}||w-\eta^{7}||w-\eta^{8}|$
$=\frac{ |w-1||w-\eta^{2}||w-\eta^{3}||w-\eta^{4}|\cdots |w-\eta^{8}|
}{ |w-1||w-\eta^{3}||w-\eta^{6}| }$
$=\frac{|w^{9}-1 |}{|w^3-1|}$
となる。あとは$w=1+i$を代入すればよい。
$w=\sqrt{2}(\cos (\pi/4) +i\sin (\pi/4))$
に注意して
$w^9=(\sqrt{2})^9(\cos (9\pi/4) +i\sin (9\pi/4))=16\sqrt{2}(1/\sqrt{2}+i/\sqrt{2})=16+16i$
$w^3=(\sqrt{2})^3(\cos (3\pi/4) +i\sin (3\pi/4))=2\sqrt{2}(-1/\sqrt{2}+i/\sqrt{2})=-2+2i$
となるから
$\frac{|w^{9}-1 |}{|w^3-1|}=\frac{|15+16i|} {|-3+2i|}=\frac{\sqrt{225+256}}{\sqrt{9+4}}$
$=\frac{\sqrt{481}}{\sqrt{13}} =\sqrt{37}$ ……(答)
【別解】
$\frac{|w^{9}-1 |}{|w^3-1|}=|\frac{(w^3-1)(w^6+w^3+1)}{w^3-1} |=|w^6+w^3+1|$
ここに$w^3=-2+2i$を代入すれば
$=|(-8i)+(-2+2i)+1|=|-1-6i|=\sqrt{37}$ ……(答)
【問題4】 $z=(1+\alpha i)/(1-\alpha i)(\alpha \neq -i )$において、$z$の絶対値が$1$ならば$\alpha$は実数であることを証明せよ。---
【証明】 $|z|=1$ならば
$|z|^2=z \bar{z}= 1$
$\frac{1+\alpha i}{1-\alpha i} \cdot \frac{1-\bar{\alpha} i}{1+\bar{\alpha}
i} =1$
$(1+\alpha i)(1-\bar{\alpha} i)=(1-\alpha i)(1+\bar{\alpha} i)$
$1+|\alpha|^2 +(\alpha-\bar{\alpha})i= 1+|\alpha|^2 -(\alpha-\bar{\alpha})i$
$\alpha=\bar{\alpha}$
ある複素数がその共役複素数と等しいのは、虚部が$0$であるときに限る。よって、$\alpha$は実数である。■
【問題5】 $\alpha=\cos(2/5)\pi+ i \sin(2/5)\pi$ とする。
? $\alpha^5,\alpha^4+\alpha^3+\alpha^2+\alpha+1$の値をそれぞれ求めよ。
? 方程式 $z^5=1$ の5つの解を$1,z_{1},z_{2},z_{3},z_{4}$ とし、複素数平面上でそれらが表す点をそれぞれ$A_{0},A_{1},A_{2},A_{3},A_{4}$
とするとき、4つの線分の長さの積 $A_{0}A_{1}\times A_{0}A_{2} \times A_{0}A_{3}\times A_{0}A_{4}$
の値を求めよ。---
【解】? ド・モアブルの定理により
$\alpha^5=(\cos(2/5)\pi+ i \sin(2/5)\pi)^5=\cos2\pi+ i \sin2\pi=1$ ……(答)
後者は
$\alpha^5-1=(\alpha-1)(\alpha^4+\alpha^3+\alpha^2+\alpha+1)$
より
$\alpha^4+\alpha^3+\alpha^2+\alpha+1=\frac{\alpha^5-1}{\alpha-1}=0$
……(答)
? が$z^5=1$ の5つの解は
$1,\alpha,\alpha^2,\alpha^3,\alpha^4$
だから、求めたいものは次のものになります。
$|(1-\alpha)(1-\alpha^2)(1-\alpha^3)(1-\alpha^4)|$
$=|(1-\alpha-\alpha^2+\alpha^3)(1-\alpha^3-\alpha^4+\alpha^2)|$
ここで $\alpha^5=1$ を使いました。
$= |1 -\alpha^3 -\alpha^4 +\alpha^2- \alpha +\alpha^4 + 1 -\alpha^3-\alpha^2
+ 1 + \alpha -\alpha^4+\alpha^3 - \alpha -\alpha^2 + 1|$
$=|4-(\alpha+\alpha^2+\alpha^3+\alpha^4)|$
$=4-(-1)=5$ ……(答)
最後で前問の答の $1+\alpha+\alpha^2+\alpha^3+\alpha^4=0$ を使いました。
【問題6】 点 $A(\alpha),B(\beta),C(\gamma)$ を頂点とする $\triangle ABC$ は $2i\alpha+(1-2i)\beta-\gamma=0$
を満たしている。次の問に答えよ。
(1) $\triangle ABC$ はどんな三角形か。
(2) $\triangle ABD$ が正三角形、かつ $\triangle ABC$ と $\triangle ABD$ が重ならないように点
$D(\delta)$ をとる。$\alpha=-1+3i,\gamma=3$ のとき, $\beta,\delta$, および $BC$と$BD$のなす角$\theta$
を求めよ。---
【解】 (1) 与式を変形して
$\gamma -\beta=2i(\alpha-\beta)$
$2i$ 倍することは90°回転して長さを2倍することと同じだから、
上図のような $AB:BC:CA=1:2:\sqrt{5}$ の直角三角形になる。 ……(答)
(2) 与式より
$\beta=\frac{\gamma -2i \alpha}{1-2i}$
だから
$\beta=\frac{3 -2i(-1+3i)}{1-2i} =\frac{9+2i}{1-2i}= \frac{(9+2i)(1+2i)}{1+4}$
$=1+4i$ ……(答)
正三角形ということから、$\delta-\alpha$ は $\beta-\alpha$ を60°回転したものである。よって
$\delta-\alpha=\frac{1+\sqrt{3}i}{2} (\beta-\alpha)$
より
$\delta=\frac{1+\sqrt{3}i}{2} (\beta-\alpha)+\alpha = \frac{1-\sqrt{3}i}{2}
\alpha+ \frac{1+\sqrt{3}i}{2} \beta$
$= \frac{1-\sqrt{3}i}{2} (-1+3i)+ \frac{1+\sqrt{3}i}{2} (1+4i)=\frac{-\sqrt{3}+(7+2\sqrt{3})i}{2}$
……(答)
また、$BC$と$BD$のなす角は図より、90°と60°を合わせて
$\theta=\frac{5}{6} \pi$ ……(答)