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天秤の支点(力のモーメント)
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§1. モーメントとは何か
§2. 天秤問題は重心では解けない
§3. 天秤問題は力のモーメントで
§4. 速度と角速度
§5. 運動量保存の法則
§6. 力のモーメントの定義
§7. 角運動量保存の法則
天秤の問題において、力のモーメント(moment of force または toruque という)=長さ×力、すなわち
$x_{1} f_{1} + x_{2} f_{2} + \cdots + x_{n} f_{n} = x_{1} m_{1}g + x_{2}m_{2}g
+\cdots +x_{n} m_{n}g $
($m_{i}$ は質量、$g$ は重力加速度)が登場する。天秤が釣り合う点が重心になることは、力のモーメントを使って解明しないと分からないからである。このことはけっして自明ではない。
ここでモーメント(moment)本来の定義を述べておこう。
$x_{1} f_{1} + x_{2}f_{2} + \cdots + x_{n}f_{n} $ ……(1)
を、原点のまわりの$f_{i}$の1次のモーメントという。一見すると内積に似ているが、 $x_{i}$ と $f_{i}$ は異種の量だから、これは内積ではない。
$x_{1}^{2}f_{1} + x_{2}^{2}f_{2} + \cdots +x_{n}^{2} f_{n} $ ……(2)
は、原点のまわりの$f_{i}$の2次のモーメントという。
$ (x_{1}-a)^{2}f_{1} +(x_{2}-a)^{2}f_{2} + \cdots +( x_{n}-a)^{2}f_{n}
$ ……(3)
は、点$a$のまわりの$f_{i}$の2次のモーメントという。
そういえば、確率論で出てくる期待値や分散とは、「確率のモーメント」のことである。期待値とは
$E(X)= x_{1}p_{1} + x_{2}p_{2} + \cdots + x_{n}p_{n} $
であり、分散とは
$V(X)= (x_{1}-\mu)^{2} p_{1}+ (x_{2}-\mu)^{2}p_{2} + \cdots +( x_{n}-\mu)^{2}
p_{n}$
であるから、それぞれ(1),(3)と同じ式である。なお、確率論の本でこのモーメント$ E(X^{k}) = \displaystyle \sum_{i=1}^{n} x_{i}^{k}
p_{i} $のことを「積率」と和訳しているものがある。確率との積だから「率積」の方がいいかなという気もしてくる。
ところで、ニュートンは moment を微分の意味に使っている。歴史的に見ると、モーメントという用語には紆余曲折があるようだ。
具体的な問題を使って論じよう。
【問題1】 下図の天秤は、どこに支点を置けば、釣り合うか。
よく「重心に支点を置くと、天秤は釣り合って静止する」と言うが、厳密に言うとそれはウソである。その理由をいくつか挙げてみる。
結局は、天秤は力のモーメントを使わないと解け得ない問題なのである。
先述の問題1は、正しくは力のモーメントを使って次のように解く。
(解) 支点$x$にて、この天秤を支えるとする。すると、支点には鉛直上向きに
$(m_{1}+m_{2})g$
($g$は重力加速度)の垂直抗力が働く。
ここで力のモーメントの和は
$N= x(m_{1}+m_{2})g -( x_{1} m_{1}g + x_{2}m_{2}g) =0$ ……(4)
のように、0にならなければならない。ゆえに、
$x= \frac{ m_{1} x_{1} + m_{2} x_{2} }{m_{1} + m_{2} } $■
(4)において、$N=0$ としたのは、角運動量保存の法則(→後述)を使ったからだ。だから上の(解)は完璧ではない。
天秤棒なら1次元だけで考えられそうだが、3次元の世界の中に物体が入っていて、それの回転運動を考えることにする。あえて一般化して 3次元世界で考えるのである。そこで、手始めに2次元平面上の円運動を考える。
原点を中心にして、半径$r$で円運動している点 $A$ の直交座標を$(x,y)$ とすれば、位置ベクトルは
$\vec{r} =\left (\begin{array}{c} x \\y \end{array} \right)$
で、微小時間 $\Delta t$ の間に動く移動量は
$\Delta \vec{r} =\left (\begin{array}{c} \Delta x \\ \Delta y \end{array}
\right)$
だから速度ベクトルは
$\vec{v} = \displaystyle \lim \frac{ \Delta \vec{r} } {\Delta t} =\left (\begin{array}{c}
\dot{x} \\ \dot{y} \end{array} \right)$
また、ベクトルの内積
$\vec{r} \cdot \vec{r} = \mid \vec{r} \mid^{2} =r^{2}$
を微分して
$ \vec{v} \cdot \vec{r} + \vec{r} \cdot \vec{v} =2 \vec{v} \cdot \vec{r}
=0$
だから、速度ベクトルは位置ベクトルに直交、よって速度ベクトルは円の接線方向を向く。
上の動点$A$の座標を今度は極座標を $(r,\theta)$ で表わそう。点 $A$ が微小時間 $\Delta t$ の間に動く円弧の長さは
$ r \Delta \theta $
となり、速度 $\mid \vec{v} \mid$ は$ \frac{r \Delta \theta}{\Delta t} $の極限となり、
$ v = r \dot{ \theta} = r \omega $
である。ここに出てきた偏角$\theta$の時間微分$\omega$が角速度だ。速度がベクトルであったので、角速度ベクトル$\vec{\omega}$なるものを考えよう。その絶対値は$\omega$に比例するものとしよう。
$| \vec{\omega} | \propto \omega $
では、角速度ベクトルの向きはどう定義すればいいだろうか。
回転面は回転軸で決められ、回転軸は回転面に垂直だが、ここで右ねじの法則が成り立つように定める。すなわち、位置ベクトル$\vec{r}$, 速度ベクトル$\vec{v}$
, 角速度ベクトル$\vec{\omega}$が右手の親指、人差し指、中指になるように決めるのである。
よって、角速度ベクトルを$\vec{r}$と$\vec{v}$の外積であると定義しよう。すなわち
$\vec{\omega} = \vec{r} \times \vec{v}$
(円運動の場合は上の3つのベクトルのうちのどの2つをとっても垂直である。) このように定義すれば
$|\vec{\omega}| = r | \vec{v}| = r^{2} \omega $
で、たしかにスカラーの$\omega$に比例している。
速度の次に基本的な物理量として、
運動量$=$質量$\times$速度
や、
力$=$質量$\times$加速度
がある。実は、運動量(momentum)の時間微分が力になっていて、その事実を「運動量保存の法則」と呼ぶ。それを証明しよう。
【運動量保存の法則】
$\frac{dP}{dt} = F$
ただし、$P$は全運動量、$F$はすべての質点に働く力の和である。---
(証明)各質点の運動量
$p_{i} = m_{i} v_{i} $
を時間微分すれば
$\frac{d p_{i} }{ dt} = \frac{d (m_{i} v_{i}) }{dt} = m_{i} \frac{d v_{i} }{dt} = m_{i} \alpha_{i} =F_{i}$
したがって各質点にわたって合計すれば
$\frac{d \sum p_{i} }{ dt} = \sum F_{i} \Rightarrow \frac{dP}{dt} = F$■
力のモーメントをどう定義すればよいのかを、テコの原理から考えていこう。
上図のようなテコを考える。このとき、支点からなるべく遠いところを持って動かす方が楽に(小さい力で)石を動かせる。これは経験的に納得できる。
問題は、支点からの距離が $2\mbox{倍}, 3\mbox{倍}, \cdots$ になると、力は $1/2\mbox{倍}, 1/3\mbox{倍},
\cdots$ と反比例するかということだ。経験だけでは、正確に反比例というところまでは分からないだろう。
ここで、力学の知識を使う。テコを微小な角 $\Delta \theta$(ラジアン)だけ動かすことを考える。ある人は支点から $\vec{r}$
の位置にある点を持って、$\vec{F}$ の力で持ち上げたとしよう。この力がテコに対し行う仕事($=$力$\times$距離)を計算してみる。円の接線方向に
$ \mid \vec{r} \mid \Delta \theta $
だけの距離を動く。力$\vec{F}$ の円の接線方向の成分は、$\vec{r}$ と $\vec{F}$ のなす角を $\phi$ とすれば
$ \mid \vec{F} \mid \sin \phi $
だから、仕事は
$ \mid \vec{r} \mid \Delta \theta \cdot \mid \vec{F} \mid \sin \phi
$
となる。
テコのどの点を持って動かしたにしても、角 $\Delta \theta$ だけ動かすという同じ効果を与えるのならば、なされた仕事は等しい。従って、このとき
$ \mid \vec{r} \mid \Delta \theta \cdot \mid \vec{F} \mid \sin \phi
= \mbox{一定} $
ここで、$\Delta \theta$ は定数であるから、
$ \mid \vec{r} \mid \mid \vec{F} \mid \sin \phi = \mbox{一定} $
となる。これで、力のモーメント$\vec{N}$を 2つのベクトル$\vec{r}$ と $\vec{F}$ の外積、すなわち
$\vec{N} = \vec{r} \times \vec{F}$
と定義すればいいと察しがつく。これが力のモーメントである。ただし、$\vec{r},\vec{F},\vec{N}$の順に右手系をなす。
以上より、力のモーメントが一定なら、力と距離が反比例することが分かる。
回転運動で「運動量=質量×速度」にあたるものが
角運動量=質量×角速度
である。すなわち、角運動量(angular momentum)$\vec{L}$とは
$\vec{L}= m \vec{\omega} = m (\vec{r} \times \vec{v}) = \vec{r} \times
( m \vec{v})$
で、向きは角速度ベクトルと同じである。角運動量は運動量のモーメントでもある。
【例】
原点中心、半径$r$, 角速度$\omega$の円運動を考える。位置ベクトルは
$\vec{r} = \left( \begin{array}{c} r \cos(\omega t + \alpha) \\ r \sin(\omega t + \alpha ) \\ 0 \end{array} \right)$
で、速度ベクトルは時間微分して
$\vec{v} = \left( \begin{array}{c} -r \omega \sin(\omega t + \alpha) \\ r \omega \cos(\omega t + \alpha ) \\ 0 \end{array} \right)$
だから、その外積を計算すれば
$\vec{L} = m \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ r^{2} \omega( \sin^{2}(\omega t + \alpha)+\cos^{2}(\omega t + \alpha ) )\end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ m r^{2} \omega \end{array} \right) $
その絶対値は
$L=mr^{2} \omega$
である。あるいは、$\vec{r}$ と $m \vec{v}$ のなす角を $\phi$ とすれば、円運動では$\phi= \pi/2$なので
$ L = m \mid \vec{r} \mid \mid \vec{v} \mid \sin \phi = mr \cdot r \dot{\theta} \cdot 1 = m r^{2} \omega$
と計算してもよい。
次に、回転運動において、「運動量保存の法則」に相当する次の定理を証明しよう。
【角運動量保存の法則】
$\frac{dL}{dt}= N$
ただし、$L$は角運動量、$N$は質点に働く力のモ−メントである。---
(証明)角運度量ベクトルを時間微分すると、
$ \dot{\vec{L}} = \frac{d}{dt}( \vec{r} \times ( m \vec{v} ) ) $
だが、ベクトルの外積の微分には積の微分公式がそのまま使えて
$ = \dot{\vec{r}} \times ( m \vec{v} )+ \vec{r} \times ( m \dot{\vec{v}}) $
$ = \vec{v} \times ( m \vec{v} )+ \vec{r} \times (m \vec{\alpha} ) $
ここで、最後の式の第1項は同じ方向のベクトルの外積だから、$\vec{0}$(零ベクトル)である。よって、
$ \dot{\vec{L}} = \vec{r} \times \vec{F} = \vec{N} $
で、角運動量ベクトルの時間微分は力のモーメントであることが示された。■
最後に保留にしておいた問題1の解の続きを述べよう。
(解のつづき) 角運動量の和$L$を求めると
$L= x (m_{1}+m_{2})v -( x_{1} m_{1}v_{1} + x_{2} m_{2}v_{2})$
であるが、支点は固定されているので
$v=0$
また、天秤が静止していることから
$v_{1}=v_{2}=0$
であるので、角運動量は
$L=0$(定数)
である。角運動量保存の法則により
$\frac{dL}{dt}=N$
なので、力のモーメントの和は
$N=0$
となる。
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