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天秤の支点(力のモーメント)
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§1. モーメントとは何か
§2. 天秤問題は重心では解けない
§3. 天秤問題は力のモーメントで
§4. 速度と角速度
§5. 運動量保存の法則
§6. 力のモーメントの定義
§7. 角運動量保存の法則
天秤の問題において、力のモーメント(moment of force または toruque という)＝長さ×力、すなわち
$x_{1} f_{1} + x_{2} f_{2} + \cdots + x_{n} f_{n} = x_{1} m_{1}g + x_{2}m_{2}g
+\cdots +x_{n} m_{n}g $
($m_{i}$ は質量、$g$ は重力加速度)が登場する。天秤が釣り合う点が重心になることは、力のモーメントを使って解明しないと分からないからである。このことはけっして自明ではない。
ここでモーメント(moment)本来の定義を述べておこう。
$x_{1} f_{1} + x_{2}f_{2} + \cdots + x_{n}f_{n} $ ……(1)
を、原点のまわりの$f_{i}$の１次のモーメントという。一見すると内積に似ているが、 $x_{i}$ と $f_{i}$ は異種の量だから、これは内積ではない。
$x_{1}^{2}f_{1} + x_{2}^{2}f_{2} + \cdots +x_{n}^{2} f_{n} $ ……(2)
は、原点のまわりの$f_{i}$の２次のモーメントという。
$ (x_{1}-a)^{2}f_{1} +(x_{2}-a)^{2}f_{2} + \cdots +( x_{n}-a)^{2}f_{n}
$ ……(3)
は、点$a$のまわりの$f_{i}$の２次のモーメントという。
そういえば、確率論で出てくる期待値や分散とは、「確率のモーメント」のことである。期待値とは
$E(X)= x_{1}p_{1} + x_{2}p_{2} + \cdots + x_{n}p_{n} $
であり、分散とは
$V(X)= (x_{1}-\mu)^{2} p_{1}+ (x_{2}-\mu)^{2}p_{2} + \cdots +( x_{n}-\mu)^{2}
p_{n}$
であるから、それぞれ(1),(3)と同じ式である。なお、確率論の本でこのモーメント$ E(X^{k}) = \displaystyle \sum_{i=1}^{n} x_{i}^{k}
p_{i} $のことを「積率」と和訳しているものがある。確率との積だから「率積」の方がいいかなという気もしてくる。
ところで、ニュートンは moment を微分の意味に使っている。歴史的に見ると、モーメントという用語には紆余曲折があるようだ。
具体的な問題を使って論じよう。
【問題1】 下図の天秤は、どこに支点を置けば、釣り合うか。
よく「重心に支点を置くと、天秤は釣り合って静止する」と言うが、厳密に言うとそれはウソである。その理由をいくつか挙げてみる。
結局は、天秤は力のモーメントを使わないと解け得ない問題なのである。
先述の問題1は、正しくは力のモーメントを使って次のように解く。
(解） 支点$x$にて、この天秤を支えるとする。すると、支点には鉛直上向きに
$(m_{1}+m_{2})g$
($g$は重力加速度)の垂直抗力が働く。
