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ということは、共通接線と共通接点は
$y=4x+2a$, $(2,2a+8)$
です。次に $g(x)$ の接線についても同じ結論を得るのだから
$g'(2)=4, g(2)=2a+8$
となります。よって
$4+(b-4)=4, 4+2(b-4)+1=2a+8$
この $a,b$ についての連立方程式を解いて
$a=-3/2,b=4$ ……【答】
【別解】 接線は $(0,2a)$ を通る直線だから、これを
$y-2a=t^2(x-0)$ ……(1)
とおく。共通接点は
$(t, (1/3)t^3+2a+16/3 )$
だから、これを(1)に代入して、
$(t-2)(t^2+2t+4)=0$
よって $t=2$
共通接点の座標は
$(2,2a+8)$
であり、そこでの傾きは
$f'(2)=g'(2)=4$
と分かる。$y=g(x)$ もこの点を通り、かつ傾きが同じだから
$2a+8=4+2(b-4)+1, 4+(b-4)=4$
$a=-3/2,b=4$ ……【答】
【問題3.6】 2曲線 $y=f(x)$ と $y=g(x)$ が $x=p$ で交わり $x=q$ で共通の接線を持つための条件を求めよ。---
【解】 交わるとは共有点を持つということ。だから
$f(p)=g(p)$
だけで十分。$f'(p)=g'(p)$は不要。
共通接線を持つとは、共有点を持ち、かつその点で傾きが等しく(微分係数が等しく)なるので、
$f(q)=g(q)$ かつ $f'(q)=g'(q)$
です。
【問題3.7】 $f(x)=xe^{-2x}$について
(1) $y=f(x)$ の変曲点を通る接線 $l$ を求めよ。
(2) 曲線 $y=f(x)$ のグラフと直線 $l$ と $y$ 軸で囲まれた部分の面積 $S$ を求めよ。---
【解】
$f(x)=xe^{-2x}$
$f ' (x) = (1-2x)e^{-2x}$
$f '' (x) = (4x-4)e^{-2x}$
よって$x=1$ において変曲点を持つ。
接線$l$は、$f(1)=e^{-2},f'(1)=-e^{-2}$より
$y=-e^{-2} x +2e^{-2}$ ……(答)
また、面積は
$S=\int_{0}^{1} \{ (-e^{-2} x +2e^{-2} )- xe^{-2x} \}dx$
積分を前半と後半に分けると
$S_{1}=\int_{0}^{1} (-e^{-2} x +2e^{-2} )dx$
$=[ -\frac{1}{2}e^{-2}x^2 +2e^{-2}x ]_{0}^{1}$
$=\frac{3}{2}e^{-2}$
と、後半は部分積分を使って
$S_{2} = \int_{0}^{1} x e^{-2x} dx$
$=[ -\frac{1}{2}x e^{-2x}]_{0}^{1} +\frac{1}{2}\int_{0}^{1} e^{-2x}
dx$
$=-\frac{1}{2}e^{-2}-\frac{1}{4}(e^{-2}-1)$
$=-\frac{3}{4}e^{-2}+\frac{1}{4}$
だから
$S=(\frac{3}{2}e^{-2})-(-\frac{3}{4}e^{-2}+\frac{1}{4})$
$=\frac{9}{4}e^{-2} - \frac{1}{4}$ ……(答)
【問題3.8】 実数 $a,b$ を係数とする関数 $f(x)=x^4+ax^3+bx^2$ について、次の問いに答えよ。
(1) $y=f(x)$ のグラフを $C$ とする。点 $(1,f(1))$ における接線$l$の方程式を $a,b$ を用いて表せ。
(2) (1)の接線lは点 $(-2,f(-2))$ においても $C$ に接している。このとき $a,b$ の値を求めよ。
(3) (2)のとき、$C$ と $l$ で囲まれた部分の面積を求めよ。---
【解】 $f(x)=x^4+ax^3+bx^2$
を微分すると
$f'(x)=4x^3+3ax^2+2bx$
だから、$x=1$における接線の方程式は
$y - (1+a+b) = (4+3a+2b) (x - 1)$
すなわち
$y = (4+3a+2b)x + (-3-2a-b)$ …(1)の答
である。
これが $C$ 上の点 $(-2,f(-2))$, すなわち
$(-2, 16-8a+4b)$
を通るのだから
$16-8a+4b = (4+3a+2b)(-2) + (-3-2a-b)$
すなわち
$9b + 27 = 0$ ……(ア)
また $x=-2$ での傾きは上記接線の傾きと同じだから
$f'(-2) = -32+12a-4b = 4+3a+2b$
すなわち
$9a -6b -36 = 0$ ……(イ)
(ア),(イ)を連立して解けば、
$a = 2, b = -3$ ……(2)の答
面積は
$S = \int_{-2}^{1} \{ (x^4+ax^3+bx^2)-((4+3a+2b)x + (-3-2a-b) \}dx$
$=\int (x^4 + 2x^3 -3x^2 -4x +4 )dx$
$=\frac{ 81}{10}$ ……(3)の答■
【問題3.9】 関数 $y=x^4-2ax^3＋(a^2-a＋1)x^2$ が極大値をもつとき、定数 $a$ の値の範囲を求めよ。---
【解】 $y'=4x^3-6ax^2＋2(a^2-a＋1)x=2x \{2x^2-3ax＋(a^2-a＋1)\}$
$y'$ が相異なる3つの実数解を持てばよい。それには、$\{\mbox{ } \}$ の中の2次式が $x \neq 0$ なる異なる2つの実数解を持てばよい。ということは
$D＝9a^2-8(a^2-a+1)=a^2+8a-8>0$
だから、
$a <-4-2\sqrt{6}, -4+2\sqrt{6}<a$ ……(答)
ここで、$\{\mbox{ } \}$ の中に $x=0$ を代入すると
$a^2-a+1=(a-\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}>0$
より、$x=0$ を解に持ち得ないことに留意する。
§4. 積分の応用
【問題4.1】 $y=\log x,y軸,y=1,y=-1$で囲まれた図形を$y$軸を中心に回転した体積を求めよ。---
【解】
図のように、$x$軸に平行な直線でスライスして、長方形を回転。スライス円柱ができるがその体積は、
$\pi x^2 dy = \pi(e^y)^2 dy$
これを$-1$から$ 1$まで積分。
$V =\int_{-1}^{1} \pi e^{2y} dy$
$=[\pi e^{2y}/2]_{-1}^{1}$
$=\pi(e^{2} - e^{-2})/2$■
【問題4.2】 曲線 $y＝e^{-x} ?3$ と、$x$ 軸、$y$ 軸で囲まれる図形 $S$ を $y$ 軸のまわりに一回転してできる体積を求めよ。---
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