$S=\int_{0}^{1}(x^3-4x^2+3x)dx -\int_{1}^{3}(x^3-4x^2+3x)dx$
$=[\frac{1}{4}x^4-\frac{4}{3}x^3+\frac{3}{2}x^2]_{0}^{1} - [\frac{1}{4}x^4-\frac{4}{3}x^3+\frac{3}{2}x^2]_{1}^{3}$
$=\frac{1}{4}-\frac{4}{3}+\frac{3}{2} - \frac{1}{4}(81-1)+\frac{4}{3}(27-1)-\frac{3}{2}(9-1)$
$=\frac{1}{4} +\frac{100}{3}+\frac{3}{2}-32$$=\frac{3+400+18-384}{12}$
$=\frac{ 37}{12}$……(答)
【問題2.4】 $\displaystyle \lim_{ n \rightarrow \infty} (\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+4}+ \cdots+\frac{1}{3n})$
を求めよ。---
【解】
$S = \displaystyle \lim \frac{1}{n} \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{1+2\cdot(k/n)}$
だから
$S= \int_{0}^{1}\frac{ 1}{1+2x} dx $
$=[ \frac{1}{2}\log(1+2x)]_{0}^{1}=\frac{1}{2}\log 3$ ……(答)
【問題2.5】 (1) $\sin x (-\pi/2 \leq x \leq \pi/2), \tan x ( -\pi/2 \leq x \leq \pi/2)$
の逆関数をそれぞれ微分せよ。
(2) $\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}, \frac{1}{a^2+x^2} (a>0)$ の原始関数をそれぞれ求めよ。
(3) 定積分 $\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{4-x^2}}dx, \int_{0}^{1}\frac{1}{3+x^2}dx$
をそれぞれ求めよ。---
【解】 (1) $\sin x (-\pi/2 \leq x \leq \pi/2)$ の逆関数を $y=\sin^{-1} x$ と書くことにする。(これをアークサインと読む。) 定義域は $-1 \leq x \leq 1$, 値域は $-\pi/2 \leq y \leq \pi/2$ である。$x=\sin
y$ だから、逆関数の微分法の公式により
$\frac{d}{dx} \sin^{-1} x= 1/\frac{dx}{dy}=1/\cos y =\frac{1}{\sqrt{1-\sin^2
y}} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ ……(答)
$\tan x ( -\pi/2 \leq x \leq \pi/2)$ の逆関数を $y=\tan^{-1} x$ と書くことにする。(これをアークタンジェントと読む。) 定義域は $-\infty < x <\infty $, 値域は $-\pi/2 \leq y \leq \pi/2$
である。$x=\tan y$ だから、逆関数の微分法の公式により
$\frac{d}{dx} \tan^{-1} x= 1/\frac{dx}{dy}=\cos^2 y =\frac{1}{1+ \tan^2
y} = \frac{1}{1+ x^2}$ ……(答)
(2) 前者は $x =a \sin t$ と置換すると $dx=a \cos t dt$ だから
$\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx =\frac{1}{a} \int \frac{1}{\sqrt{1-
\sin^2 t}} a \cos t dt=\int dt = t +C$
$=\sin^{-1} (\frac{x}{a}) +C$ ……(答)
後者は $x =a \tan t$ と置換すると $dx=(a /\cos^2 t) dt$ だから
$\int \frac{1}{a^2+x^2}dx =\frac{1}{a^2} \int \frac{1}{1+ \tan^2 t}
\cdot \frac{a}{\cos^2 t} dt=\frac{1}{a} \int dt = \frac{t}{a} +C$
$=\frac{1}{a} \tan^{-1} (\frac{x}{a}) +C$ ……(答)
(3) 前問の結果を使えば
$\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{4-x^2}}dx=[ \sin^{-1}(\frac{x}{2})]_{0}^{1}
=\sin^{-1}(\frac{1}{2}) -\sin^{-1} 0=\frac{\pi}{6}$ ……(答)
および
$\int_{0}^{1} \frac{1}{3+x^2}dx=\frac{1}{\sqrt{3}} [ \tan^{-1} (\frac{x}{\sqrt{3}}
)]_{0}^{1} =\frac{1}{\sqrt{3}} \tan^{-1}(\frac{1}{\sqrt{3}}) -\tan^{-1}
0=\frac{\pi}{6\sqrt{3}}$ ……(答)
【(3)の別解】 置換積分する。前者は $x =2 \sin t$ と置換すると $dx=2 \cos t dt, t=0 \rightarrow \pi/6$ だから
$\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{4-x^2}}dx=2 \int_{0}^{\pi/6} \frac{\cos
t }{\sqrt{4-4 \sin^2 t}}dt=\int_{0}^{\pi/6} dt =\frac{\pi}{6}$ ……(答)
後者は $x =\sqrt{3} \tan t$ と置換すると $dx=(\sqrt{3}/ \cos^2 t) dt, t=0 \rightarrow \pi/6$ だから
$\int_{0}^{1} \frac{1}{3+ x^2}dx= \int_{0}^{\pi/6} \frac{1}{3(1+\tan^2
t)} \cdot \frac{\sqrt{3} dt }{\cos^2 t}=\int_{0}^{\pi/6} \frac{1}{\sqrt{3}}
dt =\frac{\pi}{6 \sqrt{3}}$ ……(答)
【蛇足】 (3) の解答としては、高校では別解の方が一般的である。
【問題3.1】$y=1/\sqrt{x}$のグラフをかけ。---
【解】 $y=\sqrt{x}$ は $y=x^2 (x \geq 0)$ の逆関数ですから、すぐ描けます。求めるグラフはこれの逆数ですから、割と簡単に得られます。
単調減少も $\sqrt{x}$ が単調増加であることから明らかですし、凸性 $f（\frac{a+b}{2}）<\frac{f(a)+f(b)}{2}$
も同様に得られます(相加平均、相乗平均を使います)。
つまり微積分を知らなくても、結構なことが分かります。
【問題3.2】 曲線 $y=\sin^2 \frac{\pi \log x}{3}$ 上の $x=e$ である点における接線の方程式を求めよ。---
【解】 微分すると
$y’=(2\sin \frac{\pi \log x}{3} \cos \frac{\pi \log x}{3} ) \frac{\pi}{3x}=\frac{\pi}{3x}
\sin \frac{2\pi \log x}{3}$
$x=e$ を代入すると
$y'(e)=\frac{\pi}{3e} \sin \frac{2\pi}{3} =\frac{\pi}{3e} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}
=\frac{\sqrt{3}\pi}{6e}$
よって求めるべき接線の方程式は
$y - \frac{3}{4} =\frac{\sqrt{3}\pi}{6e}(x-e)$
または
$y =\frac{\sqrt{3}\pi}{6e}x + \frac{9 -2\sqrt{3} \pi}{12}$ ……(答)
【問題3.3】 3次関数 $f(x)=x^3+3ax^2+bx+c$ に関して、$f(x)$ が $x=\alpha$ で極大、$x=\beta$ で極小になるとき、点 $(\alpha,f(\alpha))$ と点 $(\beta,f(\beta)$ )を結ぶ直線の傾き $m$ を $f(x)$ の係数を用いて表せ。
また、$y=f(x)$ のグラフは平行移動によって $y=x^3+(3/2)mx$ のグラフに移ることを示せ。---
【解】 $f'(x)=3x^2+6ax+b=0$ の2解を $\alpha,\beta$ とおく。解と係数の関係で
$\alpha +\beta =-2a$
$\alpha \beta=\frac{b}{3}$
よって
$m=\frac{f(\alpha)-f(\beta)}{\alpha- \beta}$
$=\frac{(\alpha^3 - \beta^3)+3a(\alpha^2-\beta^2)+b(\alpha-\beta)}{\alpha-\beta}$
$=(\alpha^2+\alpha\beta+\beta^2)+3a(\alpha+\beta)+b$
$=(\alpha+\beta)^2-\alpha \beta +3a(\alpha+\beta)+b$
$=4a^2-\frac{b}{3} -6a^2+b$
$=-2a^2+\frac{2b}{3}$ ……(答)
極大点と極小点を結ぶ線分の中点が変曲点だが、それを求めると
$(\frac{\alpha+\beta}{2},f( \frac{\alpha+\beta}{2}))$
であろうと想像される。もしそうなら、その点の座標は
$(-a,f(-a))=(-a,2a^3-ab+c)$
であるから、この点が原点に移るように
$x$ 軸方向に $a$,
$y$ 軸方向に $-(2a^3-ab+c)$
だけ平行移動すればよい。実際、このように平行移動した後のグラフの式を求めると
$y=f(x-a)-(2a^3-ab+c)$
$=(x-a)^3+3a(x-a)^2+b(x-a)+c-(2a^3-ab+c)$
$=x^3+(-3a^2+b)x$
$=x^3+\frac{3}{2}mx$
【問題3.4】 曲線$y=(x^2+x+1)/(x+1)$の漸近線を求めよ。---
【解】 筆算で分子÷分母の割り算を実行。
$(x^2+x+1)\div(x+1) = x \cdots 1$
より
$x^2+x+1 = x(x+1) + 1$,
$\frac{x^2+x+1}{x+1} = x +\frac{ 1}{x+1}$
$x →±∞$で第2項は $→0$
あと、分母=0 になるのは$x=-1$である。よって、漸近線は
$y = x (x →±∞)$
$x = -1 (x →-1±0)$
の2本である。
【問題3.5】 $f(x)=(1/3)x^3+2a+16/3$ と $g(x)=x^2+(b-4)x+1$ のグラフは交点を持ち、そのうちの一つでは2曲線の接線は同一となり、その接線は点$(0,2a)$
を通るとき、定数 $a,b$ の値を求めよ。---
【解】 共通接線の接点の $x$ 座標を $ t$ とすれば、$f(x)$ の接線の方程式は
$y-f(t) = f'(t)(x-t)$
すなわち
$y - ((1/3)t^3+2a+16/3) = t^2(x-t)$
ここに $(x,y)=(0,2a)$ を代入して
$2a - ((1/3)t^3+2a+16/3) = t^2(0-t)$
$(1/3)t^3+16/3 = t^3$
$(t-2)(t^2+2t+4)=0$
よって $t=2$