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【知恵袋から】微積分

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§1. 微分、連続性
§2. 定積分
§3. 関数のグラフ
§4. 積分の応用
§5. ベキ級数展開

「YAHOO! 知恵袋」で筆者が回答したものの中から抜粋しました。

§1. 微分、連続性

【問題1.1】 関数 $y=\sqrt[4]{x}$ を $x$ について微分せよ。---

【解】 $x=y^4$
両辺を $x$ で微分すると
   $1=\frac{dy^4}{dx}=\frac{dy^4}{dy} \cdot \frac{dy}{dx}=4 y^3 \cdot \frac{dy}{dx} $
です。よって
   $\frac{dy}{dx}=\frac{1}{4y^3}= \frac{1}{4 \sqrt[4]{x^3}}$ ……(答)
結局
   $(x^{1/4})'=(1/4)x^{-3/4}$
が成り立つってことだ。

【問題1.2】 $\frac{y}{x}+\frac{x}{y}=3$ のとき、$\frac{dy}{dx}$ を求めよ。---

【解】 両辺を $xy$ 倍すると
   $x^2+y^2-3xy=0$
これを $y$ についての2次方程式と思って、解の公式で解けば
   $y=\frac{3x \pm \sqrt{9x^2-4x^2}}{2} =\frac{(3 \pm \sqrt{5})x }{2}$
よって
   $\frac{dy}{dx}=\frac{3 \pm \sqrt{5} }{2}$ ……(答)
   
【別解】 分母を払った式を平方完成すれば
   $(y-\frac{3}{2}x)^2 -\frac{9}{4}x^2 +x^2=0$
   $(y-\frac{3}{2}x)^2 -\frac{5}{4}x^2=0$
   $(y-\frac{3}{2}x +\frac{\sqrt{5}}{2}x)(y-\frac{3}{2}x -\frac{\sqrt{5}}{2}x)=0$
   $y=\frac{3-\sqrt{5}}{2}x, y=\frac{3+\sqrt{5}}{2}x$
なんてことはない、この方程式は2直線を表わす。(以下同じ)
【蛇足】 厳密に言うと、分母≠0より $x \neq 0,y \neq 0$ だから、$x=0$ では微分可能ではない。

【問題1.3】 次の関数$f(x)$が、$x=0$で連続であるか不連続であるかを調べよ。
(1) $f(x)=[2x]$
(2) $f(x)= \sqrt{x}$ ---

【解】 (1)
$0 \leq x < 0.5$ のとき $f(x) = 0$
$-0.5 \leq x < 0 $ のとき $f(x) = -1$
だから、$f(x)$ は $x = 0$ において、右側連続だが左側連続ではない。よって連続ではない。

(2) $f(x)$ は $x = 0$ において、右側連続だが、左側では関数が定義されていない。
定義域 $\{ x | x \geq 0 \}$ だけで考えるので、左側連続か否かを考える必要はない。
したがって、$f(x)$ は $x = 0$ において連続である。
【蛇足】(2)は微分可能ではないが、連続である関数の例になっています。

【問題1.4】 次の関数が微分可能であることを示せ。---
   $f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} x^2\sin \frac{1}{x} & (x \neq 0)\\ 0 & (x=0) \end{array} \right. $


【証明】 $x \neq 0$ では微分可能な関数の商、合成、積だから微分可能であある。問題は$x=0$のときだ。
   $f'(0)= \displaystyle \lim \frac{x^2 \sin (1/x)-0}{x-0}$
   $= \lim x \sin (1/x)$
ところで
   $-|x| \leq x \sin(1/x) \leq |x|$
と挟み打ちできるので
   $ \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}x \sin (1/x)=0$
となり、$f'(0)=0$と微分可能と分かる。■
【蛇足】 上とよく似た関数に
   $f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} x \sin \frac{1}{x} & (x \neq 0)\\ 0 & (x=0) \end{array} \right. $
がある。こちらは連続だけど、微分可能ではない。なぜなら、$\sin(1/x)$は $x \rightarrow 0$とすると$-1$から$1$までの間を揺れ動くので極限値を持たないので、微分可能ではない。しかし、
   $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}f(x)=\lim x \sin(1/x) =0=f(0)$
なので連続ではある。
   
つまり、$y=\pm x^2$ のグラフの中に入れば微分可能だが、$y=\pm x$ のグラフの中だと微分可能まで保証されない。
これから、微分可能とそうでないものとの境目(ボーダーライン)が分かります。グラフがエグれてないと微分可能にならないのです。 

【問題1.5】 $a$を実数とする。$f(x)=|x|(e^{2x}+a)$が$x=0$で微分可能であるとき、つぎの問に答えよ。
(1) $a,f'(0)$をそれぞれ求めよ。
(2) $f'(x)$が$x=0$で連続であることを示せ。
(3) $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +0} \frac{f'(x)}{x}$ を求めよ。また、$f'(x)$が$x=0$で微分可能でないことを示せ。
---

【解】
(1)
   $x>0$ なら $f(x)=x(e^{2x}+a),$
   $x<0$ なら $f(x)=-x(e^{2x}+a)$
を微分すれば
   $x>0$ なら $f'(x)=(2x+1)e^{2x}+a,$
   $x<0$ なら $f(x)=-(2x+1)e^{2x}-a$
両者ともf$'(0)$ が等しくなるから
   $1 + a = -1 -a, ⇒ a=-1$ ……(答)
   $f'(0)= 1-1 =0$ ……(答)
(2)
   $f'(x)=(2x+1)e^{2x}-1 → 0(x>0),$
   $f'(x)=-(2x+1)e^{2x}+1 → 0(x<0)$
左右どっちから近づいても $f'(0)=0$ に近づくから連続。
(3) $x>0$なら、
   $\frac{f'(x)}{x}= \frac{(2x+1)e^{2x}-1}{ x}$
だがロピタルの定理を使って
   $\frac{2 \cdot e^{2x} +(2x+1) \cdot 2e^{2x}}{ 1}$ → 4
$x<0$なら、
   $\frac{f'(x)}{x}=\frac{-(2x+1)e^{2x}+1}{ x}$
だがロピタルの定理を使って
   $\frac{-2 \cdot e^{2x} -(2x+1) \cdot 2e^{2x}}{ 1}$ → -4
だから、これは $f'(x)$ について、$x=0$ で両側の微分係数が一致しないのだから微分可能でないことを意味している。
【蛇足】 ロピタルを使わない解法を紹介しておきます。示したいことは、
   $\lim \frac{(2x+1)e^{2x} - 1}{ x} = 4$
ですが
   $\lim( 2e^{2x} + \frac{e^{2x} -1}{x})= 2 + \lim \frac{e^{2x} -1}{x}$ ……(*)
を求めることに帰着します。$2x=t$ と置き換えれば
   $\displaystyle \lim_{t \rightarrow 0}\frac{e^t -1}{t}$
が分かればよいことになる。最後の式は指数関数$e^x$の $x=0$ における微係数ですから、1になります。
なぜならば$n \rightarrow \infty$のとき
   $(1+ \frac{1}{n})^n → e$
であり、さらに
   $(1+ \frac{t}{n})^n → e^t$
である。左辺を二項展開すると
   $1 + n \frac{t}{n} + _{n}C_{2} (\frac{t}{n})^2 + \cdots$
だから、これから1を引いて、$t$で割って、$t \rightarrow 0$とすれば
   $1 + \frac{1}{2!} \cdot 1 \cdot (1-\frac{1}{n}) t +\cdots \rightarrow 1$
となる。したがって
   $\displaystyle \lim_{t \rightarrow 0} \{ 1 + \frac{1}{2!} \cdot 1 \cdot (1-\frac{1}{n}) t +\cdots \}=\lim_{t \rightarrow 0} \frac{e^t -1}{t} =1$
結局、(*)は 2+2=4 となります。  

【問題1.6】$f(x)=\frac{x+1}{x-2},g(x)=3x+1$のとき、次の合成関数を求めよ。
(1) $f(g(x))$
(2) $f(f(x))$ ---


【解】(1) $f(3x+1)=(3x+1+1)/(3x+1-2)$だから
   $f(g(x))=\frac{3x+2}{3x-1}$ ……(答)
(2) $f((x+1)/(x-2))=\{(x+1)/(x-2)+1\}/\{((x+1)/(x-2)-2\}$だから
   $f(f(x))=\frac{x+1+x-2}{x+1-2(x-2)}$
   $=\frac{2x-1}{-x+5}(ただしx \neq2))$ ……(答)
【蛇足】 問題の式のように$y=(x+1)/(x-2)$と書いてあったら、分母≠0なので暗黙のうちに「定義域は$x\neq2$なるすべての実数」と解釈されます。
(1)の答の$y= (3x+2)/(3x-1)$では、暗黙のうちに $x\neq 1/3$ と解釈されるので、それを答案に書かなくてよいのです(書いてもいいですけど)。
(2)の答の$y= (2x-1)/(-x+5)$では、暗黙のうちに $x\neq 5$ とだけしか解釈されないので、$x\neq2$を明示的に書かなくてはならないのです(「$x\neq2,5$」と書いてもいいですけど)。

【問題1.7】 平均値の定理を使って、$0<b \log b-a \log a<2(b-a)$ ただし$1/e<a<b<e$ を示せ。---

【証明】 平均値の定理とは
   $\exists \xi(a<\xi<b) : \frac{f(b)-f(a)}{b-a} =f'(\xi)$
である。そこで
   $y=x \log x$
とおけばよい。$y'=\log x+1$ だから
   $\exists \xi(a<\xi<b) : \frac{b \log b - a \log a}{b-a} =\log \xi +1$


   
ところで、$y'=\log \xi+1$ という関数のグラフは上図のようになり、その値域は
   $0<f'(\xi) <2(1/e <\xi<e)$
である。$a<\xi<b$ ならば $1/e<\xi<b$ であるから
   $0<\frac{b \log b - a \log a}{b-a} <2$
でなければならない。あとは、分母を払えばよい。■

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§2. 定積分

【問題2.1】 次の定積分を求めよ。
   (1) $\int_{0}^{\pi/8} \tan^{2} 2xdx$
   (2) $\int_{1}^{e} x^{4}\log xdx$ ---


【解】 (1)は置換して、tan の微分公式を逆用。(2)は典型的な部分積分の問題。
(1)
   $\int_{0}^{\pi/8} \tan^{2} 2xdx$
   $=\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi/4} \tan^{2} tdt$
   $=\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi/4} (\frac{1}{\cos^{2}t}-1) dt$
   $=\frac{1}{2}[ \tan t -t ]_{0}^{\pi/4}$
   $=\frac{1}{2}(1-\frac{\pi}{4})$
(2)
   $\int_{1}^{e} x^{4}\log xdx$
   $=[ \frac{1}{5} x^{5} \log x]_{1}^{e} -\int_{1}^{e} \frac{1}{5}x^{5} \cdot \frac{1}{x} dx$
   $= \frac{1}{5} e^{5} -[\frac{1}{25}x^{5}]_{1}^{e}$
   $=\frac{1}{5} e^{5} -(\frac{1}{25}e^{5} -\frac{1}{25})$
   $=\frac{4}{25} e^{5} +\frac{1}{25}$■

【問題2.2】 次の定積分を求めよ。
(1) $\int_{0}^{\pi/2} \log(\sin x) dx $
(2) $\int_{0}^{\pi} x \log(\sin x) dx $ ---


【解】(1) 所与の積分を$I$とおく。
   $I=\int_{0}^{\pi/4} +\int_{\pi/4}^{\pi/2}$
と、積分区間を2つに割る。後半の積分は、$x=\pi/2 -t$と置換すると
   $\int_{\pi/4}^{\pi/2} \log(\sin x) dx = \int_{\pi/4}^{0} \log(\sin(\pi/2 -t))(-1)dt$
   $=\int_{0}^{\pi/4} \log(\cos t)dt $
だから
   $I=\int_{0}^{\pi/4} \log(\sin x)dx +\int_{0}^{\pi/4} \log(\cos x)dx $
   $=\int_{0}^{\pi/4} \log(\sin x \cos x)dx$
   $=\int_{0}^{\pi/4} \log((1/2)\sin 2x )dx$
   $=\int_{0}^{\pi/4} \log (1/2)dx + \int_{0}^{\pi/4} \sin 2x dx$
   $=-\frac{\pi}{4}\log 2 + \int_{0}^{\pi/4} \sin 2x dx$
ここで、後半の積分を$2x=u$と置換すると
   $=-\frac{\pi}{4} \log 2 +\int_{0}^{\pi/2} \sin u \cdot \frac{1}{2} du$
よって
   $I=-\frac{\pi}{4} \log 2 +\frac{1}{2} I$
したがって$I$を左辺に寄せて、2倍すれば
   $I=-\frac{\pi}{2} \log 2$ ……(答)
【蛇足】 この種のテクニックは部分積分ではよく使われるが、置換積分では珍しい。
【解】(2) 所与の積分を$J$とおく。
   $J=\int_{0}^{\pi/2} +\int_{\pi/2}^{\pi}$
と、積分区間を2つに割る。後半の積分は、$x=\pi -t$と置換すると
   $\int_{\pi/2}^{\pi} x \log(\sin x) dx = \int_{\pi/2}^{0} (\pi-t)\log(\sin(\pi -t))(-1)dt$
   $=\pi \int_{0}^{\pi/2} \log(\sin t )dt - \int_{0}^{\pi/2} t \log(\sin t )dt $
だから、
   $J=\int_{0}^{\pi/2} x \log(\sin x) dx +\pi \int_{0}^{\pi/2} \log(\sin t )dt - \int_{0}^{\pi/2} t \log(\sin t)dt $
   $=\pi \int_{0}^{\pi/2} \log(\sin t )dt$
と、面倒な部分が消えてなくなり、あとは(1)の結果を使って
   $=-\frac{\pi^2}{2}\log 2$ ……(答)


【問題2.3】 次の曲線や直線で囲まれた部分の面積を求めよ。
(1) $y=x +2/x -3, x$軸
(2) $y=x(x-1)(x-3), x$軸 ---


【解】 (1) $y=1/x$ (反比例)のグラフに$y=x$を乗っけます。そして$3$降ろす。$x$軸との交点の$x$座標は
   $x +\frac{2}{x} -3=0$

   
分母を払って
   $x^2 - 3x +2 =0$
より$x=1,2$だから
   $S=-\int_{1}^{2}(x+2/x-3)dx=[-\frac{1}{2}x^2-2\log x +3x]_{1}^{2}$
   $=-\frac{1}{2}(4-1)-2\log 2 +3(2-1)$
   $=3/2-2\log 2$ ……(答)
(2) $x(x-1)(x-3)=0$より$x=0, 1, 3$だから

   

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