教科書の間違いを修正して、チェーンルールの証明を完成させよう。分母が0になるところがネックなのだから、分母を払ってしまえばよい。
そもそも微分係数の定義は
$\Delta x \rightarrow 0 $ のとき $ \frac{f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x}
\rightarrow f'(a)$
だが、これを書き直していく。
$\frac{f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x} =f'(a)+o(1)$, ただし $\Delta x \rightarrow
0 \mbox{のとき}o(1) \rightarrow 0$
$f(a+\Delta x)-f(a) =f'(a)\Delta x+o(1)\cdot \Delta x$
$f(a+\Delta x)=f(a) +f'(a)\Delta x+o(\Delta x),$
ただし $\Delta x \rightarrow 0$ のとき $ \frac{o(\Delta x)}{\Delta x}\rightarrow
0$ ……(3)
この最後の表式を使ってチェーンルールを証明するのである。上に出てきた $o(\Delta x)$ をランダウのオーとか、$\Delta x$ より高位の無限小という。
$o(\Delta x)$ という関数は $\Delta x \rightarrow 0 $ のとき $o(\Delta x)/\Delta
x\rightarrow 0$ であり、(3)を常に成り立たせるために $o(0)=0$ と約束する。また、当然のことながら $o(\Delta
x)=o(\Delta x)/\Delta x \cdot \Delta x \rightarrow 0$ である。
(チェーンルールの証明)
$g(x_{0}+\Delta x)=g(x_{0}) +g'(x_{0})\Delta x+o(\Delta x)$
と
$f(u_{0}+\Delta u)=f(u_{0}) +f'(u_{0})\Delta u+o(\Delta u)$
の2つから、
$\Delta u=g(x_{0}+\Delta x)-g(x_{0})=g'(x_{0})\Delta x+o(\Delta x)$
$\Delta y=f(u_{0}+\Delta u)-f(u_{0})=f'(u_{0})\Delta u+o(\Delta u)$
となり、第1式を第2式に代入して
$\Delta y=f'(u_{0})\{ g'(x_{0})\Delta x+o(\Delta x) \} + o(\Delta u)$
$=f'(u_{0})g'(x_{0})\Delta x+f'(u_{0})o(\Delta x) + o(\Delta u)$
すなわち
$(f\circ g)(x_{0}+\Delta x)=(f\circ g)(x_{0}) + f'(u_{0})g'(x_{0})\Delta
x+f'(u_{0})o(\Delta x) + o(\Delta u)$
ここで
$\frac{f'(u_{0})o(\Delta x) + o(\Delta u)}{\Delta x} =f'(u_{0})\cdot
\frac{o(\Delta x)}{\Delta x} + \frac{o( \Delta u)}{\Delta x}$
が $\Delta x \rightarrow 0$ のとき ($\Delta u \rightarrow 0$ ともなる) どうなるかを考える。第1項は$\rightarrow
0$ で、第2項は常に $\Delta u=0$ なら $o(\Delta u)/\Delta x =0$ だし、そうでなければ $o(\Delta
u)/\Delta u \cdot \Delta u/\Delta x \rightarrow 0 \times g'(x_{0})=0$ だから全体として
$\frac{f'(u_{0})o(\Delta x) + o(\Delta u)}{\Delta x} \rightarrow 0$
である。よって、
$(f\circ g)(x_{0}+\Delta x)=(f\circ g)(x_{0}) + f'(u_{0})g'(x_{0})\Delta
x+o(\Delta x)$ ……(4)
これを微分係数の定義式＝(3)と比較すれば、
$(f\circ g)(x_{0}) =f'(u_{0})g'(x_{0})$
これでチェーンルールが証明できた。■
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