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対話=放物線の接線と面積
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§1. 1次と2次の分解・合成
§2. 放物線の接線
§3. ベキ展開
§4. 平行移動
§5. 面積＝体積
§6. 放物線と直線で囲まれた図形
§7. 放物線の面積の公式
先生 $y = 2x^2 + 3x + 4$ のグラフはどうやって描けばいいかな。
かずお 式を変形して、
$y = 2 ( x + \frac{3}{4} )^2 + \frac{23}{8}$
とすれば、描けます。
まなぶ そんな難しいやり方、ボク、習ってないから分からないヨ。
先生 もう少し、素直なやり方はないかな。
かずお ウーン、それなら
$y = (3 x + 4 ) + 2x^2$
という具合に、1次関数の部分と2次の項に分けて、考えてみようか。
まなぶ $y = 3x + 4$ のグラフならボクにも描けるヨ。
かずお そのグラフ上の点から真上に $2x^2$ の長さだけ上がったところに点をプロットしていけば、グラフが描ける。
先生 完成した放物線と、$y = 3x + 4$ とはどういう関係にあるんだね。
まなぶ 放物線の $x=0$ における接線が、$y = 3x + 4$
のようですね。
かずお 放物線の接線とは、それと共有点を1点しか持たない直線のことでしたから、まなぶ君の言うとおりです。
先生 接線の性質を調べてごらん。
まなぶ それはですね、$x=0$ から左右に $x_{0}$ だけ行った点での、2次関数の値を考えてみると……。
かずお $x = x_{0}$ と $x = -x_{0}$ における値は、それぞれ
$f( x_{0}) = ( 3x_{0}+ 4) + 2x_{0}^2$
と、
$f(-x_{0}) = (-3x_{0}+ 4) + 2x_{0}^2$
になります。
まなぶ 両方とも、直線 $y=3x+4$ より、真上に $2x_{0}^2$
だけ行った点だ。おのおのの点を A, B とすると、直線 AB は直線 $y=3x+4$ に平行です。
かずお すると、放物線が具体的に与えられたとき、$x = 0$ における接線を簡単に作図できるネ。
まなぶ ウン。2点
$A(- x_{0}, f(-x_{0}) ),$
$B( x_{0}, f( x_{0}) )$
をグラフ上にとって、この2点を直線で結ぶ。そして、この直線に平行で、点 $(0, f(0))$ を通る直線を引けば、それが接線だ。
先生 では、$x = 0$ でなく、$x = p$ における接線はどうやって作図するのかな。
まなぶ 今のやり方を、真横に平行移動するだけの話ですから、ほぼ同様にできます。2点
$A( p - x_{0}, f(p - x_{0} )),$
$B( p + x_{0}, f(p + x_{0}) )$
をグラフ上にとって、この2点を直線で結ぶ。そして、この直線に平行で、点 $(p, f (p) )$ を通る直線を引けば、それが接線だ。
かずお 直線 AB の傾きは
$m = \frac{ f(p + x_{0}) - f(p - x_{0}) }{ 2x_{0}}$
です。作図した接線の方程式を $ m$ を使って表すと
$y = m( x - p ) + f(p)$
です。ここで、放物線の方程式を
$y = f(x) = ax^2+ bx + c$
とすると、
$m = \frac{ a × 4p x_{0} + b \times 2x_{0} }{ 2x_{0}}$
$= 2 a p + b$
となり、接線の式は
$y = (2ap + b)(x - p) + ( ap^2 + bp + c )$
まなぶ これが本当に接線であることを確かめてみます。今の式と
$y = ax^2 + bx + c$
を連立し、$y$ を消去します。それは $x$ についての2次方程式になりますが、それが重解をもつことを言えばよいのです。
かずお 消去すると、
$ax^2 = 2apx -(2ap+b)p + (ap^2+bp)$
で、結局
$ax^2 -2apx + ap^2 = 0$
で、$x = p$ という重解を得ます。
先生 今求めた接線の方程式は、ベキ展開することによって求めることもできるんだよ。
かずお どうやるんですか。
先生 $x = p$ のまわりに展開する場合には、$p$ からの位差の式で表したいわけだから、$x -
p$ で割ればいいわけだ。
かずお $y = ax^2 +bx +c$ を $x - p$ で割ります。このとき、組立除法を使います。
商が $ax+(ap+b)$ で余りは $ap^2+bp+c$ です。
まなぶ すると、
$ax^2 +bx +c = \{ax+(ap+b)\}(x-p) + (ap^2+bp+c)$
だね。
かずお 今出た商をもう一度、$x - p$ で割ります。
$ax+(ap+b) = a(x-p) + (2ap+b)$
と分かります。
まなぶ さっきボクが言った式にこれを代入すれば
$ax^2 +bx +c = a(x-p)^2 + (2ap+b)(x-p)+ (ap^2+bp+c)$
です。
先生 ここで、2次の項 $a(x-p)^2$ を無視すれば接線になるから、接線は
$y = (2ap+b)(x-p) + (ap^2+bp+c)$
さきほど、かずお君が出した式と同じものが出たね。
かずお 先生、2次関数のグラフで不思議だと感じたのは、
$y = ax^2+ bx+c$
のグラフは、$y = bx+c$ のグラフを上へ
$y = ax^2$
だけ伸ばしたものなので、斜めに傾くのかなと思いきや、平方完成してみるとこの2つのグラフは平行移動で重なり合うことです。
まなぶ つまり
$y = ax^2$
のグラフを平行移動しただけで
$y= ax^2+bx+c$
のグラフに重なるのはなぜか、ってことでしょ。
先生 $+c$ の部分は除いて考えていいね。次に $a$ で割って考えると、
$y = x^2$
のグラフを平行移動して
$y= x^2 + b'x$
のグラフに重なることが分かればいいわけだね。差分表を作ってごらん。
かずお エーと、まず $y = x^2$ の差分表は
$x$
0
1
2
3
4
$x^2$
0
1
4
9
16
$\Delta_{1}$
1
3
5
7
9
先生 2乗数列を差分すると、$1,3,5,7,…$ と奇数列が現れる。これはガリレオが斜面の運動に関して、発見した内容だ。
まなぶ 例として、$b'=-4$ としてみて、$y = -4x$ を差分すると、
$x$
0
1
2
3
4
$-4x$
0
-4
-8
-12
-16
$\Delta_{2}$
-4
-4
-4
-4
-4
差分した値は、係数の $-4 $に等しいです。
先生 さて、2つの式を合成した
$y = x^2 - 4x$
を差分してごらん。
かずお 今求めた2つの差分 $\Delta_{1}$ と $\Delta_{2}$ を足せばいいから、差分表はさっきの差分表を利用して作れます。
$x$
0
1
2
3
4
$x^2$
0
1
4
9
16
$-4x$
0
-4
-8
-12
-16
$x^2-4x$
0
-3
-4
-3
0
というのは、値を足し算した表です。これを見れば、グラフは軸が $x = 2$ の放物線になると分かります。
次に、差分表を作ってみます。
$x$
0
1
2
3
4
$\Delta_{1}$
1
3
5
7
9
$\Delta_{2}$
-4
-4
-4
-4
-4
$\Delta_{1}+\Delta_{2}$
-3
-1
1
3
5
これが、差分を足し算した表です。
まなぶ 奇数列 $1,3,5,\cdots $の各項に $-4$ を加えたものが、ここで求めるべき差分でした。表の最下行を見れば、奇数列
$1,3,5,\cdots$ が2項ずつシフトしていることが読み取れます。なぜなら、奇数列の公差は 2 だから、$(-4)÷ 2 = -2$ で、2項ずつシフトするのです。
かずお それで、$y = x^2- 4x$ は $y = x^2$ を右へ $2$ だけずらしたものになるんだ！
先生 今度は、放物線と直線で囲まれた図形の面積を求めることにしよう。まず、下図の面積はいくらかな。
かずお まず、短冊の形に切ります。1つひとつの短冊の面積は、10分割の場合なら、
$0.001, 0.004, 0.009, \cdots, 0.081, 0.100$
のようになります。
先生 体積も同様の考えでできるね。例えば、下図の四角錐の体積は?
まなぶ 底面に平行な平面で分割します。例えば、10分割なら、
$0.001, 0.004, 0.009, \cdots, 0.081, 0.100$
です。アレッ、さっきの面積の場合と同じだ。
先生 結局、この立体の体積はいくらだね。
まなぶ 四角錐の体積は、テッペンの頂点をずらして、底面の4つある角のうちのある1つの真上に来るようにすれば、3つ合わせて1つの立方体になります。だから、立方体の体積の 1/3
です。
底面が縦 $a$, 横 $b$ の長方形で、高さ c の四角錐は、今の四角錐を縦、横、高さの方向に $a$
倍、 $b$ 倍、 $c$ 倍に引き伸ばしたものだから、やはり体積$ abc$ の直方体の 1/3 になります。
先生 すると、
$S=\int_{0}^{h} ax^2 dx$
の値はいくらになるかな。
かずお 底面が縦 $h$, 横 $ah$ の長方形で、高さが $h$ の四角錐の体積のことと考えて、
$S = \frac{ah^3}{3}$
となります。
まなぶ 底面を、1辺 $\sqrt{a} \cdot h$ の正方形だと考えても、いいわけだよネ。
先生 すると、下図の $S$ の面積は、横が $h$ で縦 $ah^2$ の長方形の面積の $\frac{1}{3}$ ということになるね。
先生 では、次の問題にうつろう。放物線
$y = x^2 - 3x +4$
と、直線
$y = x + 1$
で囲まれた図形、すなわち下図のかげをつけた部分の面積はいくらかな。
まなぶ これは、先ほどの接線の問題の応用ですね。2つのグラフの交点を A, B とします。その中点 M の $x$ 座標を求めます。
かずお 2つの式から $y$ を消去して、
$x^2 - 4x + 3 =0$
だから、M の $x$ 座標は解と係数の関係から
$\frac{\alpha + \beta}{2} = 2$
となります。
まなぶ この場合は
$(x - 1)(x - 3) = 0$
と因数分解できるから、$\alpha = 1, \beta = 3$ です。
かずお ともかく、点 M の座標は
$M = ( x_{M}, y_{M} ) = ( 2, 3 )$
です。この点の真下にある放物線上の点 N の座標は
$N = ( x_{N}, y_{N} ) = ( 2, 2 )$
です。 N を通って、直線 $y = x + 1$ に平行な直線、すなわち点 N における接線を引きます。
先生 一般に、
$x= \frac{\alpha + \beta}{2}$
における接線の傾きは、2点 A, B を通る直線の傾きに等しいんだったね。
まなぶ 2点 A, B のそれぞれを通って $x$ 軸に垂直な直線を引きます。これで、平行四辺形ができます。
かずお 平行四辺形の内部で、かげをつけていない部分の面積は、平行四辺形の面積の $\frac{1}{3}$ になる。
まなぶ どうして？
かずお この図形は
$y = x^2 -4x + 3$
と
$y = 0$
で囲まれた図形に、$y = x + 1$ の分だけ、ゲタをはかせて斜めにしただけだから。
まなぶ なるほど。そうすると、求めるべき面積、すなわちかげのついた部分の面積は、平行四辺形の面積の $\frac{2}{3}$ ということになるね。
かずお 計算すると、
$S =\frac{ 2}{3} \times (\beta - \alpha)×(y_{M} - y_{N}) = \frac{4}{3}$
となる。
先生 これを一般化して、面積の公式が作れるだろ。
かずお はい。曲線
$y = f(x) = a (x - α)(x - β)$
$(\alpha<\beta )$ が、$x$ 軸と囲む図形の面積を $S$ とします。
$x = \frac{\alpha + \beta}{2}$
における接線は $x$ 軸と平行です。この接線と、 $x$ 軸との距離を求めると
$|f(\frac{\alpha+\beta}{2})| = |a (\frac{\alpha+\beta}{2}-\alpha )( \frac{\alpha+\beta}{2}-\beta)|$ $= \frac{|a|}{4} (\beta-\alpha)^2$
です。
まなぶ すると、長方形の面積は
$\frac{|a|}{4} (\beta-\alpha)^3$
となり、これの $2/3$ が求める面積だから
$S =\frac{ |a|}{6} (\beta-\alpha)^3$
となります。
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