これで高々2次の多項式の積分
$ \int_{0}^{x} (ax^{2}+bx+c) dx = \frac{a}{3} x^{3} +\frac{b}{2}x^{2} +cx$
が計算できるようになる。グラフが$x$軸より下に行ったら値はどうなるかということもやっておいて、微分積分の基本公式を導く。すなわち
$ \int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{0}^{b} f(x) dx - \int_{0}^{a} f(x)dx = [ F(X)]_{a}^{b}$
となる。実際に定積分を求めるには例えば
$ \int_{2}^{3} (4x^{2} +3x +5) dx = [\frac{4}{3}x^{3} +\frac{3}{2}x^{2} +5x]_{2}^{3}$
とした後に、線型性を使う。つまり積分演算子の線型性ではなく、引き算演算子(?) $[ \mbox{ } ]_{a}^{b}$ の線型性：
$[ kF(x) +lG(x) ]_{a}^{b}= k[F(x)]_{a}^{b} + l[G(x) ]_{a}^{b}$
を使って、
$=\frac{4}{3}(3^{3} -2^{3}) + \frac{3}{2} (3^{2} -2^{2}) +5(3-2)$
とやる。これを
$=(\frac{4}{3} \times 3^{3}+ \frac{3}{2} \times 3^{2}+5 \times 3) -(\frac{4}{3} \times 2^{3} + \frac{3}{2} \times 2^{2} +5 \times 2)$
とやろうものなら計算間違いが大量発生して手に負えなくなる。
【放物線の面積（問題）】
【Q1】 放物線 $y=x^{2}$ と$x$軸と縦線$x=1$ で囲まれた図形の面積($S=\int_{0}^{1}x^{2}dx$ と表す)を求めたい。
$x=0$ 〜 $x=1$ の間を10等分(横幅は$dx= \Box$ )し、そこで各々縦線を立てて曲線図形をスライスすると、上図のように@〜Iの10個のスライス長方形ができる。この10個の長方形の和(階段図形)の面積で$S$の値を近似しよう。@〜Iの面積を各々求め、それの合計を計算せよ。
($S$は直角二等辺三角形の面積より小さいから、$S<1/2$ は明らかだが正確にはいくらだろうか、予測しながら計算してみよ。)
(解) スライス長方形10個の合計を$S_{10}$ と表すと
$S<S_{10}= \Box$
【Q2】 10等分ではなく100等分にして、近似値$S_{100}$を求めよ。計算には教科書巻末の$x^{2}$ の表を利用すること。
(答) $S<S_{100}= \Box <S_{10}$
【Q3