初めに、1次関数の積分を扱う。
上図の斜線部の面積を $\int_{0}^{x} (ax+b)dx$ と書く。台形の面積の公式より
$\int_{0}^{x} (ax+b)dx= \frac{1}{2} (b+ax+b)x = \frac{1}{2} ax^{2} +bx$ …@
となる。
次に問題になるのは2次関数の積分だ。昔の教育課程だと積分の前に数列とその和をやっていたから
$\int_{0}^{1} x^{2} dx= \displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \displaystyle \sum_{k=1}^{n} (\frac{k}{n})^{2} \times \frac{1}{n} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^{3}} = \frac{1}{3}$
と区分求積ができたけど、今はそれができない。後述の【Q1】および【Q2】でその雰囲気だけでも味わってください。
一般論を先に展開して、微分積分の基本定理：
$ \frac{d}{dx} \int_{a}^{x} f(t) dt =f(x)$
から2次関数の積分を導く方法も考えられる。$f(x)$ が単調増加関数なら
$ f(x) \leq \frac{1}{\Delta x} \int_{x}^{x+\Delta x} f(t)dt \leq f(x+ \Delta x)$
で、$\Delta x \rightarrow 0$ とすればよいからそれほど難しくないかも知れない。今回は、微積の基本定理を具体例から帰納的に導くこととした。
その具体例の一つが $x^{2}$ の積分だ。それを求める方法が下の写真だ。
日曜大工の店で売っていたものだが、底面と高さが同一の四角錐と立方体である。前者の体積は後者のそれの1/3になるという事実に依拠して、放物線下の面積を求めることとした。(後述の【Q4】参照。)
【微積分の基本定理を帰納的に導く】
前述の@式と【Q6】により、帰納的に
という関係を導くことができる。この事実を発見したのが若きニュートンである。
基本定理で微分の逆操作をして、公式：
$ \int_{0}^{x} ax^{n} dx = \frac{a}{n+1} x^{n+1}$
を出した後、積分演算子の線型性を具体例から導く。例えば
$ \int_{0}^{x} (3x^{2}+4) dx$
は下図のように分割して考えれば
$ \int_{0}^{x} 3x^{2} dx + \int_{0}^{x} 4 dx$
となることが分かる。