はじめに、この2つの法則を掲げておこう。
(和の法則) 集合$\Omega$を直和分解(類別=classificationともいう)する。
$ \Omega= A_{1} \cup A_{2} \cup \cdots \cup A_{k}$, ただし $i \neq j $ のとき $A_{i} \cap A_{j} = \emptyset $
これを
$ \Omega= A_{1} + A_{2} + \cdots + A_{k} $
と表す。このとき、
$ \mid \Omega \mid = \mid A_{1} \mid + \mid A_{2} \mid + \cdots + \mid A_{k} \mid $
である。ただし、$\mid X \mid$ は集合$X$に属する要素の個数を表す。---
(積の法則) 積の法則とは、直積空間に属する順序対の個数を求めるときに使う法則である。
$k$個の集合の直積集合
$ \Omega = A_{1} \times A_{2} \times \cdots \times A_{k} $
に属する要素
$ ( x_{1}, x_{2}, \cdots , x_{k} ) $
(このとき、$x_{1} \in A_{1},x_{2} \in A_{2}, \cdots , x_{k} \in A_{k}$となっている)の個数は
$ \mid \Omega \mid = \mid A_{1} \mid \times \mid A_{2} \mid \times \cdots \times \mid A_{k} \mid $
である。---
和の法則と積の法則は、式の形だけ比較するとそっくりなので面白い。
和の法則を一般化すると、次の公式になる。
(和集合の要素数) 和の法則の系として
$ \mid A \cup B \mid = \mid A \mid + \mid B \mid - \mid A \cap B \mid $
が得られる。また、3つの集合の和集合なら
$ \mid A \cup B \cup C \mid = \mid A \mid + \mid B \mid + \mid C \mid - \mid A \cap B \mid - \mid B \cap C \mid - \mid C \cap A \mid + \mid A \cap B \cap C \mid $
である。---
4つの集合でも同様の式が成り立つが、こちらはベン図(これを書くのに苦労した。$\Omega$は$2^{4}=16$個の領域に分かれる筈だが、下手に書くと16個にならない。)だけにとどめておく。
下図のような美しいデザインのベン図を描いた人もいる。（画像検索でググってみてください。）
（補集合に属する要素の個数）
和の法則より
$\mid U \mid = \mid A \mid + \mid \bar{A} \mid$ ($U$は全体集合)
だから、移項して
$ \mid \bar{A} \mid = \mid U \mid - \mid A \mid $
となる。「〜でない」ものの数は全体から「〜である」の数を引けばよいのだ。
確率の世界では「余事象」と言うが、集合では「補集合」だ。
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