$(n_{1},n_{2}) \cdot (x-x_{0},y-y_{0})=0$,
$n_{1} (x-x_{0})+n_{2}(y-y_{0})=0$,
いま $(x,y) \neq (x_{0},y_{0})$ としたが、この点も上記方程式を満たすから、例外なしでこれが直線の方程式だ。
（答） $n_{1} (x-x_{0})+n_{2}(y-y_{0})=0$,
または $n_{1} x+n_{2}y=C$, ただし $C=n_{1} x_{0}+n_{2}y_{0}$
【問題】 2直線 $ax+by=c,bx-ay=d$ は直交することを示せ。---
【証明】 2直線の法線ベクトルは、それぞれ $\vec{n}=(a,b),\vec{n'}=(b,-a)$ だから、その内積は
$\vec{n} \cdot \vec{n'}=ab+b(-a)=0$
より垂直である。法線が垂直なら直線同士も垂直である。（下図参照）■
これより、与えられた直線に垂直な直線の方程式を求めようと思ったら、$x,y$ の係数を交換して、片方の符号を反転すればよいと分かる。（定数項はその他の条件から決定する。）
【問題】 点 $P_{0}(x_{0},y_{0})$ から直線 $ax+by+c=0$ に下ろした垂線の長さ（点と直線の間の距離）を求めよ。---
【解】 直線の法線ベクトルは $(a,b)$ だが、これは垂線の方向ベクトルでもある。よって、垂線の方程式は
$\left\{ \begin{array}{l} x=x_{0}+at \\ y=y_{0}+bt \end{array} \right. $
これを与えられた直線の方程式に代入して
$a(x_{0}+at)+b(y_{0}+bt)+c=0$,
$t=-\frac{ax_{0}+by_{0}+c}{ a^2+b^2}$,
$(x,y)=(x_{0}-a\frac{ax_{0}+by_{0}+c}{ a^2+b^2}, y_{0}-b\frac{ax_{0}+by_{0}+c}{ a^2+b^2})$
これで交点（垂線の足）が分かったので、距離を求めると
$\sqrt{(x-x_{0})^2+(y-y_{0})^2}=\frac{|ax_{0}+by_{0}+c|}{a^2+b^2}\sqrt{a^2+b^2}=\frac{|ax_{0}+by_{0}+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$ …（答）
【別解】 与えられた直線の方程式を方向ベクトルを使って表そう。直線上の任意の1点を $(x_{1},y_{1})$ とし、方向ベクトルは法線ベクトル $(a,b)$ に垂直だから $(b,-a)$ としてよいから、
$\left\{ \begin{array}{l} x=x_{1}+bt \\ y=y_{1}-at \end{array} \right. $
直線上の点 $(x,y)$ と $P_{0}(x_{0},y_{0})$ の間の距離が最小のとき、その点は垂線の足である。距離を $d(t)$ とすれば
$d(t)^2={(x_{1}-x_{0}+bt)^2+(y_{1}-y_{0}-at)^2}$
$=(a^2+b^2)t^2+2 \{b(x_{1}-x_{0})-a(y_{1}-y_{0}) \}t+\{(x_{1}-x_{0})^2+(y_{1}-y_{0})^2\}$
これが最小になるのは、2次関数の平方完成または微分法で周知のように、
$t=-\frac{b(x_{1}-x_{0})-a(y_{1}-y_{0}) }{a^2+b^2}$
のときである。これを $d(t)^2$ に代入すれば
${(x_{1}-x_{0}+bt)^2+(y_{1}-y_{0}-at)^2}$
$=\{x_{1}-x_{0}-\frac{b^2(x_{1}-x_{0}) -ab(y_{1}-y_{0}) }{a^2+b^2}\}^2+\{y_{1}-y_{0}+\frac{ab(x_{1}-x_{0})-a^2(y_{1}-y_{0}) }{a^2+b^2}\}^2$
$=\{ \frac{a^2(x_{1}-x_{0}) +ab(y_{1}-y_{0}) }{a^2+b^2}\}^2+\{\frac{ab(x_{1}-x_{0})+b^2(y_{1}-y_{0}) }{a^2+b^2}\}^2$
$=\frac{1}{(a^2+b^2)^2}\{ (a^4+a^2b^2)(x_{1}-x_{0})^2+2(a^3b+ab^3)(x_{1}-x_{0})(y_{1}-y_{0})+(a^2b^2+b^4)(y_{1}-y_{0})^2 \}$
$=\frac{1}{a^2+b^2} \{a^2(x_{1}-x_{0})^2+2ab(x_{1}-x_{0})(y_{1}-y_{0})+b^2(y_{1}-y_{0})^2 \}$
$=\frac{1}{a^2+b^2}| a(x_{1}-x_{0})+b(y_{1}-y_{0})|^2 $,
ところで $(x_{1},y_{1})$ は直線上の点であったから $ax_{1}+by_{1}+c=0$ なので
$=\frac{1}{a^2+b^2}| ax_{0}+by_{0}+c|^2 $
これの平方根をとって、距離は
$d=\frac{|ax_{0}+by_{0}+c|} {\sqrt{a^2+b^2}} $ …（答）
【公式】 点 $P_{0}(x_{0},y_{0})$ と直線 $ax+by+c=0$ の間の距離 $d$ は
$d=[ \frac{|ax+by+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}]_{(x,y)=(x_{0},y_{0})}$
（角括弧は代入するという意味。）
【問題】 平面上に、1辺の長さが 1の正三角形 OAB があり、$\overrightarrow{OA}=\vec{a},\overrightarrow{OB}=\vec{b}$
とおく。
(1) ベクトル $\vec{a},\vec{b}$ の内積の値を求めよ。
(2) 直線 AB 上の点を C とするとき、$\overrightarrow{OC}$ を実数 $t$ とベクトル $\vec{a},\vec{b}$
を使って表せ。
(3) 点 P が $\overrightarrow{OP}=2\vec{a}+\vec{b}$ を満たし、2直線 PC と OA が直交するとき、$\overrightarrow{OC}$
を $\vec{a},\vec{b}$ を使って表せ。
(4) さらに直線 AB 上の点 D を、2直線 PD と OB が直交するようにとるとき、$\overrightarrow{OD}$ を $\vec{a},\vec{b}$
を使って表せ。 また、このときの $\overrightarrow{OC}\cdot \overrightarrow{OD}$ の値を求めよ。
(5) 上の前提のもと、$\overrightarrow{OP}$ を $\overrightarrow{OC}$ と $\overrightarrow{OD}$
を使って表せ。---(2010法政大学)
【解】 (1) $\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}| \cos 60^{\circ}=1 \cdot 1\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{2}$ …（答）
(2) 例えば AB を $(1-t):t$ に分けるとすれば、$\overrightarrow{OC}=t\vec{a}+(1-t)\vec{b}$
…（答） (他の答もある。)
(3) $\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OP}=t\vec{a}+(1-t)\vec{b}-(2\vec{a}+\vec{b})=(t-2)\vec{a}-t\vec{b}$
だから
$\overrightarrow{PC}\cdot\overrightarrow{OA}=((t-2)\vec{a}-t\vec{b})\cdot\vec{a}=(t-2)-\frac{t}{2}=\frac{t}{2}-2=0$,
$t=4$, $\overrightarrow{OC}=4\vec{a}-3\vec{b}$ …（答）
(4) $\overrightarrow{PD}=(t'-2)\vec{a}-t'\vec{b}$ だから
$\overrightarrow{PD}\cdot\overrightarrow{OB}=((t'-2)\vec{a}-t'\vec{b})\cdot\vec{b}=\frac{t'-2}{2}-t'=-\frac{t'}{2}-1=0$,
$t'=-2$, $\overrightarrow{OD}=t'\vec{a}+(1-t')\vec{b}=-2\vec{a}+3\vec{b}$ …（答）
$\overrightarrow{OC}\cdot \overrightarrow{OD}=(4\vec{a}-3\vec{b})\cdot(-2\vec{a}+3\vec{b})$
$=-8|\vec{a}|^2+18\vec{a}\cdot\vec{b}-9|\vec{b}|^2=-8+18 \cdot \frac{1}{2}-9=-8$ …（答）
(5) $\overrightarrow{OP}=m\overrightarrow{OC}+n\overrightarrow{OD}$ とおけば
$2\vec{a}+\vec{b}=m(4\vec{a}-3\vec{b})+n(-2\vec{a}+3\vec{b})$,
$\left\{ \begin{array}{lcl} 2& =& 4m-2n \\ 1&=&-3m+3n \end{array} \right.$,
$m=\frac{4}{3},n=\frac{5}{3}$,
$\overrightarrow{OP}=\frac{4}{3}\overrightarrow{OC}+\frac{5}{3}\overrightarrow{OD}$ …（答）
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