【第1-1節】 ベクトルの世界(書きかけ)[婆茶留高校数学科☆HP] Top pageに戻る このページを閉じる 探したい言葉はここへ→
【第1-1節】 ベクトルの世界(書きかけ)Copyright (C) virtual_high_school, 2021
【第01講】 ベクトルとは何か
【第02講】 ベクトルの演算
【第03講】 成分表示
【第04講】 ベクトルの大きさ
【第05講】 図形とベクトル
【第06講】 直線のベクトル方程式
ベクトルとは移動のことである。
【例1】 全校集会でのこと。全体に左に寄っているので「全員、右へ50cm移動！」と指示が飛んだ。
Aという生徒もBという生徒も、「南東の方向に50ｃｍ」移動したわけだ。この向きと距離を合わせて考えた移動がベクトルである。
反対にAとかBとかの位置には関わらない。上図ではこの移動を赤い矢印（矢線）で表したが、すべての矢線が平行で向きが同じ（逆向きではなく）で、長さが等しいことに注目されたい。
【例2】 グラフGを$x$軸方向に$2$, $y$軸方向に$1$ だけ平行移動する。グラフG上の点の位置は関係ない。
この移動を
$(2,1)$
と書き、これをベクトルの成分表示と言う。ベクトルは、上図の矢線は、始点から終点に向けてへの平行移動を意味している。G上の任意の点の座標を$(x,y)$とすれば、移動後の点の座標$(X,Y)$は
$(X,Y)=(x,y)+(2,1)=(x+2,y+1)$
となる。つまり
移動後の座標＝移動前の座標＋移動ベクトル
となる訳だ。ところで移動後のグラフG' の方程式はGの方程式を$y=f(x)$なら、小文字の変数を消去して
$Y-1=f(X-2)$
となるし、Gの方程式を$F(x,y)=0$なら、
$F(X-2,Y-1)=0$
となる。符号が反転することに注意しよう。
【例3】 理科で出てくる力はベクトルだ。
滑車にひもが掛けてある。向きと大きさが等しいベクトル（力）を点Aと点Bに作用させたとき、その結果はまるで違う。理科に出てくるベクトルは自由に平行移動してはいけないのである。そういうベクトルは束縛ベクトルと言って、数学で扱うベクトルとは区別する。（蛇足：今の例では作用線上を平行移動することは許される。）
ベクトルは2つの演算---加法と実数倍について閉じている。
では、加法とは何か。
点Aから点Bへの移動を表すベクトルを$\overrightarrow{AB}$, 点Bから点Cへの移動を表すベクトルを$\overrightarrow{BC}$ としよう。AからBを経由してCに行くことは、AからCへ行くことを意味する。これがベクトルの和である。上図のようにベクトルの和を作図することを三角形の法則と呼ぶ。なにはともあれ次式が成り立つ。
$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$
いまは始点、終点を明示する形式でベクトルを表したが、$\vec{a}=\overrightarrow{AB}, \vec{b}=\overrightarrow{BC}$ のように小文字と→で表す方法もある。この場合は
$\overrightarrow{AC}=\vec{a}+\vec{b}$
となる訳だ。一方の実数倍だが、例えば2倍だったら、$2 \vec{a}=\vec{a}+\vec{a}$とすればよいだろう。これは$\vec{a}$と向きが同じで長さが2倍のベクトルだ。だから、$\vec{a}$の実数$r$倍とは、
$r>0$のときは$\vec{a}$と向きが同じで、長さが$r$倍のベクトル、
$r<0$のときは$\vec{a}$と向きが反対で、長さが$|r|$倍のベクトル、
$r=0$のときは長さが0$のベクトル
のことと定義しよう。最後に出てきた長さ0の矢線は、1点のことである。これを零（れい、ゼロ）ベクトルと言い、$\vec{0}$と書く。零ベクトルは向きについては考えないか、すべてのベクトルと平行と考える。
零ベクトルが出てくる計算例を考えよう。
$\overrightarrow{AB}+\vec{0}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BB}=\overrightarrow{AB}$,
$\vec{0}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AB}$
より、
$\vec{a}+\vec{0}=\vec{0}+\vec{a}=\vec{a}$
という計算規則が出てくる。零ベクトルは数の計算における零のようなものだ。また、
$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{AA}=\vec{0}$,
$\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BB}=\vec{0}$
より、$\vec{a}=\overrightarrow{AB}$のとき、$\overrightarrow{BA}=-\vec{a}$と表すことに決めれば
$\vec{a}+(-\vec{a})=(-\vec{a})+\vec{a}=\vec{0}$
という計算規則が出てくる。$-\vec{a}$を$\vec{a}$の逆ベクトルと（反ベクトルとも）言う。
数学では矢線ベクトルは自由に平行移動してよい（長さは変えてはならない）ということであったから、次図のように和を表すこともできる。
ACが対角線になるように平行四辺形ABCDを描くのである。すると
$\vec{b}+\vec{a}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AC}=\vec{a}+\vec{b}$
ベクトルの加法について交換法則が成り立つことが分かった。それとともに、矢線ベクトルの和を上図のように平行四辺形を利用して描けることが分かった。この描き方を平行四辺形の法則と言う。結局、ベクトルの和は、三角形でも平行四辺形でもどちらの法則でも作図できることが分かった。
交換法則以外にも下記のようにいろいろな公式が成り立つ。（ただし$r,s$は実数） すべて矢線を描いてみれば納得できよう。
(1) $(\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})$ (結合法則)
(2) $\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}$ (交換法則)
(3) $r(\vec{a}+\vec{b})=r\vec{a}+r\vec{b}$ (分配法則みたい)
(4) $(r+s)\vec{a}=r\vec{a}+s\vec{a}$ (分配法則みたい)
(5) $(rs)\vec{a}=r(s\vec{a})$ (結合法則みたい)
(6) $\vec{a}+\vec{0}=\vec{0}+\vec{a}=\vec{a}$ (零ベクトルの役割)
(7) $\vec{a}+(-\vec{a})=(-\vec{a})+\vec{a}=\vec{0}$ (逆ベクトルの役割)
(8) $1\vec{a}=\vec{a}$ (実数$1$の役割)
【問題】 下図において $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}$を描き込め。---
