【第2-2節】 確率分布(書きかけ)[婆茶留高校数学科☆HP] Top pageに戻る このページを閉じる 探したい言葉はここへ→
【第2-2節】 確率分布(書きかけ)Copyright (C) virtual_high_school, 2021
【第01講】 確率変数と確率分布
【第02講】 非復元抽出
【第03講】 復元抽出
【第04講】 2個のサイコロ
【第05講】 期待値と分散
【第06講】 変数変換
【第07講】 確率変数の和
サイコロを1個振れば（「振る」ことを試行と言う）、その結果は1から6までのいずれかの整数値が出る。我々がやっているのは数学だから数値化できるとやりやすい。
「1の目が出る」という根元事象に対し1という数を対応させ、「2の目が出る」という根元事象に対し2という実数を対応させ、……という関数を考える。
これが確率変数である。
確率変数：根元事象 $\mapsto$ 実数値
確率変数は正確に言えば数ではなく、関数である。確率変数には大文字のアルファベットをあてるのがふつうである。だから、「1の目が出る」という根元事象を$\omega_{1}$と表せば
$X(\omega_{1})=1$
というように書き表す。
では、コインを1枚投げるときはどうするか。表とウラでは数値にならないと思われるかも知れない。そこで表が出た枚数を$X$とする、というように決めればよい。
【問題】 トランプのうち、?, ?, ?, ? のカードを各1枚計4枚選んでおく。これらを裏返したままシャッフルした後、1枚を選ぶ。（ここまででは確率変数が出てこない。）赤いカードが出たら100円貰え、?が出たら500円貰えるが、?が出たら1000円取られる。獲得する金額を$X$円とするとき、確率変数$X$の確率分布を求めよ。---
【解】 確率変数が導入されていない場合は、確率分布は以下のように表現するしかない。
今は確率変数が導入されているので、それの確率分布は以下の通り。
「計」の欄を設けるのは検算用である。
玉を複数個取り出す問題で、元に戻さないときのことを「非復元抽出」と言う。
【問題】 白玉3個と黒玉4個が入った袋から4個の玉を同時に取り出すとき、白玉が出る個数を $X$ とする。$X$ の確率分布を求めよ。---
【解】 「同時に」とあるが、時間差をつけて1個ずつ計4個取り出しても同じである。（→その理由は本講座数学A【第2-4節】の【第01講】を参照せよ。）
例えば $P(X=3)$ を求めてみよう。いろいろな出方があり、
〇〇〇● だったら
$\frac{3}{7} \times \frac{2}{6} \times \frac{1}{5} \times \frac{4}{4}=\frac{(3 \cdot 2 \cdot 1) \cdot (4)}{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4}$
分母は合計個数$=7$から始まるカウントダウンの4つの数の掛け合わせ、
分子は白が個数$=3$から始まるカウントダウンの3つの数の掛け合わせと、黒が個数$=4$から始まるカウントダウンの１つの数の掛け合わせ との積。
出る順序を変えて
〇●〇〇 だったら
$\frac{3}{7} \times \frac{1}{6} \times \frac{2}{5} \times \frac{1}{4}=\frac{(3 \cdot 2 \cdot 1) \cdot (4)}{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4}$
分子は、掛ける順序を変えればさっきと同じになる。
結局、白3個の出る確率は順序を変えてもすべて同じだから、その確率を 「〇3個と●1個の並べ方（同じものを含む順列）」 倍すればよいから、
$P(X=3)=\frac{4!}{3! 1!} \times \frac{(3 \cdot 2 \cdot 1) \cdot (4)}{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4}$
他の $X$ の値についてもすべて調べると
$P(X=0)=\frac{4!}{0! 4!} \times \frac{ (4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1)}{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4}=_{4}C_{0} \frac{ (4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1)}{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4}$
$P(X=1)=\frac{4!}{1! 3!} \times \frac{(3) \cdot (4 \cdot 3 \cdot 2) }{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4}=_{4}C_{1} \frac{(3) \cdot (4 \cdot 3 \cdot 2) }{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4}$
$P(X=2)=\frac{4!}{2! 2!} \times \frac{(3 \cdot 2) \cdot (4 \cdot 3)}{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4}=_{4}C_{2} \frac{(3 \cdot 2) \cdot (4 \cdot 3)}{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4}$
$P(X=3)=\frac{4!}{3! 1!} \times \frac{(3 \cdot 2 \cdot 1) \cdot (4)}{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4}=_{4}C_{3} \frac{(3 \cdot 2 \cdot 1) \cdot (4)}{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4}$
$P(X=4)=\frac{4!}{4! 0!} \times \frac{(3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 0) }{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4}=_{4}C_{4} \frac{(3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 0) }{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4}$
二項係数はパスカルの三角形から、(1,3,3,1) の次で (1,4,6,4,1) と分かる。（階乗でやるより速い。） だから
$P(X=0)= \frac{ 4 \cdot 3 \cdot 2}{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4}=\frac{24}{840}$
$P(X=1)= \frac{4 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 }{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4}=\frac{288}{840}$
$P(X=2)= \frac{6 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 4 \cdot 3}{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4}=\frac{432}{840}$
$P(X=3)= \frac{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 4}{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4}=\frac{96}{840}$
$P(X=4)= \frac{0 }{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4}=\frac{0}{840}$
計$\frac{840}{840}=1$ …（答）
約分したければ、すべてが 4 と 6 で割れるから
$P(X=0)= \frac{ 1}{7 \cdot 5 }=\frac{1}{35}$
$P(X=1)= \frac{ 3 \cdot 4 }{7 \cdot 5 }=\frac{12}{35}$
$P(X=2)= \frac{ 3 \cdot 2 \cdot 3}{7 \cdot 5 }=\frac{18}{35}$
$P(X=3)= \frac{ 4}{7 \cdot 5 }=\frac{4}{35}$
$P(X=4)= \frac{0 }{7 \cdot 5 }=\frac{0}{35}$
計$\frac{35}{35}=1$ …（答）
玉を複数個取り出すのだが、1個ずつ取り出しては元に戻して、また取り出して … を繰り返す方法の場合は「復元抽出」と言われる。
【問題】 白玉3個と黒玉4個が入った袋から玉を1個取り出し、色を確認したら袋に戻す。これを4回繰り返すとき、白玉が出る回数 $X$ の確率分布を求めよ。---
【解】 考え方は非復元抽出の場合とほぼ同様。元に戻すため、白も黒も出る確率は変化しない点が異なる。
$P(X=0)=\frac{4!}{0! 4!} \times (\frac{3}{7})^0 \times (\frac{4}{7})^4=_{4}C_{0} \times (\frac{3}{7})^0 \times (\frac{4}{7})^4=\frac{256}{2401}$
$P(X=1)=\frac{4!}{1! 3!} \times (\frac{3}{7})^1 \times (\frac{4}{7})^3=_{4}C_{1} \times (\frac{3}{7})^1 \times (\frac{4}{7})^3=\frac{768}{2401}$
$P(X=2)=\frac{4!}{2! 2!} \times (\frac{3}{7})^2 \times (\frac{4}{7})^2=_{4}C_{2} \times (\frac{3}{7})^2 \times (\frac{4}{7})^2=\frac{864}{2401}$
$P(X=3)=\frac{4!}{3! 1!} \times (\frac{3}{7})^3\times (\frac{4}{7})^1=_{4}C_{3} \times (\frac{3}{7})^3 \times (\frac{4}{7})^1=\frac{432}{2401}$
$P(X=4)=\frac{4!}{4! 0!} \times (\frac{3}{7})^4 \times (\frac{4}{7})^0=_{4}C_{4} \times (\frac{3}{7})^4 \times (\frac{4}{7})^0=\frac{81}{2401}$ …（答）
次の問題は復元抽出ではないのだが、解き方は同様である。
【問題】 10個のサイコロを同時に投げたとき、1の目が出た個数 $X$ の確率分布を求めよ。---
【解】 「同時」と書いてあるから非復元抽出だと思ってはいけない。それはなんとかの一つ覚えである。$k$ ($0 \leq k \leq 10$)
個1が出る(＝1以外が $10-k$ 個出る) 確率は
$P(X=k)=_{10}C_{k} \times (\frac{1}{6})^k \times (\frac{5}{6})^{10-k}=\frac{10!}{k! (10-k)!} \times \frac{5^{10-k}}{6^{10}}$ …（答）
この答は二項定理の $\displaystyle \displaystyle \sum_{k=1}^{n} {_{n}C_{k}} \times x^k \times y^{n-k}(=(x+y)^n)$
に似ている。このため、上の確率分布を二項分布と言い、$B(10,\frac{1}{6})$ のように書く。
【公式】 （二項分布） 1回の試行で事象 A が起こる確率が $p$ で、この試行を $n$ 回繰り返す。ただし、各試行は互いに独立であるとする。事象
A が生起する回数 $X$ の確率分布は
$P(X=k)=_{n}C_{k} p^k \times (1-p)^{n-k}$
2個のサイコロの問題というのがよくある。この場合には $6 \times 6$ 表が使える。
【問題】 2個のサイコロを同時に投げたとき、出た目の積 $X$ の確率分布を求めよ。---【解】 下表が $6 \times 6$ 表である。
36マスあるが、等確率なので１マスの確率は $\frac{1}{36}$ である。該当するマスの数を数えて $36$ で割ればよい。確率分布を表の形にまとめると、下の通り。
