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$S=a+(a+d)+(a+2d)+\cdots +(l-2d)+(l-d)+l$
$S=l+(l-d)+(l-2d)+\cdots +(a+2d)+(a+d)+a$
を辺々足すことに相当することになるから、
$2S=(a+l)+(a+l)+(a+l)+\cdots + (a+l)+(a+l)+(a+l)=(a+l)n$
よって

$S=\frac{(a+l)n}{2}$

末項は第$n$項だから $l=a_{n}=a+(n-1)d$ を代入すれば

$S=\frac{(2a+(n-1)d)n}{2}$

【公式】 初項 $a$, 公差 $d$, 末項 $l$, 項数 $n$ の等差数列の和 $S$ は

$S=\frac{(a+l)n}{2}=\frac{(2a+(n-1)d)n}{2}$

【第04講】 等比数列の和

$x=0.333\cdots$ を分数にするには $x$ を10倍して $x$ を引いて求めた。（→ 数学 I 第1-1節 【第04講】 参照。）これと同じ考えで等比数列の和が求まる。

　　　$S=a+ar+ar^2+ar^3 +\cdots +ar^{n-1}$
を $r$ 倍して
　　　$rS=ar+ar^2+ar^3+\cdots +ar^{n-1}+ar^n$
これら2式を辺々引くのだが、引き算する項が1つずつズレていることに注意。
　　　$(r-1)S=-a+ar^n=a(r^n-1)$,
　　　$S=\frac{a(r^n-1)}{r-1}$
または
　　　$S=\frac{a(1-r^n)}{1-r}$
この2つの公式は $r$ が 1 より大きいか、小さいかで使い分けるとよい。では、$r=1$ のときはどうなるかというと、
　　　$S=a+a+a+\cdots+a=na$
だ。


【公式】 初項 $a$, 公比 $d$, 項数 $n$ の等比数列の和 $S$ は

$r \neq1$ のとき $S=\frac{a(r^n-1)}{r-1}=\frac{a(1-r^n)}{1-r}$
$r =1$ のとき $S=na$

[婆茶留高校数学科☆HP] Top pageに戻る　このページを閉じる 探したい言葉はここへ→